Calcular (en un ordenador) los primeros ceros (no triviales) de la función zeta de un campo numérico.

Question

Sea $M$ sea el campo de división de

x^8 + 3*x^7 + 13*x^6 + 17*x^5 + 45*x^4 + 37*x^3 + 11*x^2 + 112*x + 108

sobre los racionales. Si he entendido bien algunas tablas, el campo de división es (por supuesto) Galois sobre los racionales, con grupo Galois isomorfo a $SL(2,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})$ .

¿Cómo podría calcular (en un ordenador) los primeros ceros (digamos, unos diez) de la función zeta de este campo en la semirrecta? $1/2+it$ , $t\geq0$ ?

Ésa es la pregunta, y aquí va el comentario extra obligatorio.

Hice esta pregunta en math.stackexchange pero no obtuve respuesta (todavía). Aquí está el enlace: https://math.stackexchange.com/questions/35941/computing-on-a-computer-the-first-few-non-trivial-zeros-of-the-zeta-function

He intentado calcular con la función zeta de $M$ en PARI-GP pero zetakinit falló antes incluso de ponerse en marcha. Lo intenté en magma y pude (lentamente, y con no mucha precisión) calcular algunos valores de $\zeta_M(1/2+it)$ ---Pero cada cálculo me llevaba un rato y no sabía cómo pasar de "estoy calculando los valores de esta función" a "estoy encontrando los ceros de esta función", que era lo que quería hacer.

Lo pregunto por la siguiente razón bastante estúpida/ingenua. $SL(2,3)$ tiene una representación compleja bidimensional que no se induce a partir de un carácter (de hecho, tiene tres representaciones de este tipo). Así que $Gal(M/\mathbf{Q})$ tiene una representación bidimensional que no se induce a partir de un carácter, y de ahí la analiticidad del Artin $L$ -asociada a esta representación no es inmediatamente obvia a partir de Hecke/Tate: en su lugar se necesita el resultado de Langlands sobre $A_4$ Representaciones de Galois. Ayer desentrañé lo que esto decía explícitamente y, como era de esperar, se reduce a afirmaciones vagamente del tipo "todos los ceros de la función zeta de este campo numérico serán también ceros de la función zeta de ese campo o de este otro", donde todos los campos en cuestión son subcampos del campo $M$ arriba. Sólo quería "ver realmente cómo sucedía" para poder contemplar con asombro una aplicación "concreta" del cambio cíclico de base.

Más detalles, para quien esté interesado: $M$ se obtiene uniendo una raíz de

x^24 + 3*x^23 - 2*x^22 - 43*x^21 + 81*x^20 + 1579*x^19 + 2434*x^18 - 5192*x^17 + 4678*x^16 - 41425*x^15 + 423527*x^14 + 1352722*x^13 + 5199537*x^12 - 13364304*x^11 - 138065100*x^10 + 228783352*x^9 + 1254448448*x^8 - 3179566016*x^7 + 4205123840*x^6 + 139822208*x^5 - 31439415040*x^4 + 28607489536*x^3 + 330701977600*x^2 - 807251576832*x + 635017424896

a los racionales. Si $N$ , $R$ , $L$ et $K$ son subcampos de $M$ de grado $8,12,6,4$ en $\mathbf{Q}$ respectivamente, y si he entendido bien la combinatoria, entonces Langlands implica $\zeta_M\zeta_K^2/(\zeta_N^2\zeta_R)$ es entero, por lo tanto cualquier cero en el denominador es mágicamente cancelado por un cero en el numerador. si he entendido bien la combinatoria entonces esta afirmación no debería ser una consecuencia de la teoría de Hecke/Tate (que 1-dimensional $L$ -funciones son holomorfas), sino que debería estar realmente más profundo. Además, alguna cuestión análoga en la que $SL(2,3)$ se sustituye por $SL(2,5)$ debería ser realmente inaccesible (al menos si $M$ es totalmente real) porque la conjetura de Artin es abierta en este entorno. ¿Se puede incluso calcular lo suficiente como para ver que la conjetura de Artin "parece cierta" en un caso no resoluble? No estoy seguro.

Answer 1

Paso I: Introduce el polinomio de grado 24 en Magma, conviértelo en un campo numérico y llama a LSeries. Esto divide el $L$ -en un producto de 7 distintas (código Dokchitsers, bajo un atributo llamado "prod" en el objeto L-series), dadas por representaciones Artin. Así que mi plan era calcular ceros para cada una de estas $L$ -siendo éstas un subconjunto de las de $\zeta_M$ naturalmente, y recombinarse. Como representaciones de $SL(2,3)$ esto es como $$1\oplus \omega\oplus\bar\omega\oplus 2\tau_2\oplus 2\tau_2\omega\oplus 2\tau_2\bar\omega\oplus 3\kappa_3.$$ O como $L$ -función producto $$\zeta_M=\zeta\cdot L(\omega)\cdot L(\bar\omega)\cdot L(\tau_2)^2\cdot L(\tau_2\omega)^2\cdot L(\tau_2\bar\omega)^2\cdot L(\kappa_3)^3.$$

EDIT: Oh ya veo, lo querías para $M$ sin asumir la analiticidad de los constituyentes de Artin, pero Magma lo disimula automticamente, y lo asume. Pero ahora en este punto, veo que estabas tratando de evitar esta descomposición tal vez, pero entonces realmente no veo cómo se podría trabajar con $\zeta_M$ directamente, ya que el conductor es demasiado grande, siendo $163^{16}$ . Desde el punto de vista de la evidencia científica, probablemente sea suficiente que CheckFunctionalEquation en Magma para cada uno de los constituyentes anteriores dé una respuesta indistinguible de cero, aunque la sensación de ceros también es agradable.

Otra forma de comprobar la analiticidad individual es utilizar subcampos. Existe un subcampo cuártico único (hasta isomorfismo) $K_4\subset M$ con $$\zeta_K=\zeta\cdot L(\kappa_3).$$ El conductor de $\zeta_K$ es lo suficientemente pequeño como para calcular con él directamente (sin descomposición), por lo que la analiticidad de $L(\kappa_3)=\zeta_K/\zeta$ puede comprobarse (numéricamente) viendo si los ceros de Riemann son un subconjunto de los de $\zeta_K$ . EDIT: Por supuesto, $\kappa_3$ se induce a partir del carácter lineal no trivial del $Q_8$ subgrupo de $SL(2,3)$ por lo que la analiticidad ya se deduce por inducción.

También existe un subcampo sextatico único (hasta isomorfismo) $L_6\subset M$ con $$\zeta_L=\zeta\cdot L(\omega)\cdot L(\bar\omega)\cdot L(\kappa_3),$$ por lo que las partes lineales pueden aislarse aquí mediante $\zeta_L/\zeta_K$ aunque tal vez superfluo (¿teorema "fácil")? Al respecto, ya el subcampo cúbico $C_3\subset M$ tiene $\zeta_C=\zeta\cdot L(\omega)\cdot L(\bar\omega)$ si lo desea.

Existe un subcampo ótico único (hasta isomorfismo) $N_8\subset M$ con $$\zeta_N=\zeta\cdot L(\tau_2\omega)\cdot L(\tau_2\bar\omega)\cdot L(\kappa_3).$$ El anillo de enteros tiene discriminante $163^4$ así que $\zeta_N$ es probable que aún se pueda calcular directamente. Por cociente $\zeta_N/\zeta_K$ esto puede decir sobre el producto de 2 dimensiones conjugadas $L$ -funciones. EDIT: ver más abajo otra idea, utilizando giros de $\zeta_N$ .

Finalmente el único subcampo duodecico $R_{12}\subset M$ tiene $$\zeta_R=\zeta\cdot L(\omega)\cdot L(\bar\omega)\cdot L(\kappa_3)^3.$$ Así que esto no aporta nada nuevo, y el discriminante es demasiado grande de todos modos.

Tenga en cuenta que ninguna de las partes tiene $L(\tau_2)$ directamente, sólo $\zeta_M$ que es demasiado difícil de calcular. EDIT: Sin embargo, por Rankin-Selberg creo(?) se deduce que la analiticidad de $L(\tau_2)$ es equivalente a la después de la torsión por $\omega$ para obtener $L(\tau_2\omega)$ .

¿Respuesta? : Para ello, recurriendo al subcampo octic $N_8$ en lugar de utilizar sólo la Dedekind $\zeta$ -función de $N_8$ retorciéndolo por $\omega$ podría ser rentable, logrando $$L(\sigma_8\omega)=L(\omega)\cdot L(\tau_2\bar\omega)\cdot L(\tau_2)\cdot L(\kappa_3),$$ $$L(\sigma_8\bar\omega)=L(\bar\omega)\cdot L(\tau_2)\cdot L(\tau_2\omega)\cdot L(\kappa_3),$$ donde $\sigma_8=1\oplus\tau_2\omega\oplus\tau_2\bar\omega\oplus\kappa_3$ es para el Dedekind de $N_8$ . También $\kappa_3\omega=\kappa_3$ muy bien. Observando aquí la torsión da $$L(\sigma_8)L(\sigma_8\omega)L(\sigma_8\bar\omega)=\zeta_M,$$ esto podría proporcionar una forma de calcular $\zeta_M$ , ya que cada parte de la izquierda se conoce como analítica supongo. El conductor de $L(\sigma_8)$ es $163^4$ y la de los giros es $163^6$ . O se puede evitar $\zeta_M$ alternativamente, como mi cálculo es $$L(\tau_2)^2={L(\sigma_8\omega)L(\sigma_8\bar\omega)\zeta^2\over\zeta_{N_8}\zeta_{L_6}},$$ donde cada factor de la derecha debería ser conocido (¿fácilmente?) como holomorfo lejos de la $\zeta$ -polo. Obsérvese que esto aprovecha los caracteres lineales de $SL(2,3)$ y no tienes ninguno para tu próximo caso de $SL(2,5)$ .

En todos los casos, hay que calcular los ceros, y la herramienta adecuada es L-calc. Pero no sé si es realmente factible ir demasiado lejos para $L(\sigma_8\omega)$ de conductor $163^6$ sin esfuerzo intensivo.

Parte II : Ceros de $L(\tau_2)$ cálculo (ejemplo): Calculo sus primeros ceros para la representación bidimensional de carácter real. Para esta representación, con $10^5$ (tardando 6seg en Magma), exporté estos a Lcalc (una herramienta algo hack de M. O. Rubinstein, incluida en Sage supongo pero lo hice directo), que vuelve después de 12 segundos, listando las partes imaginarias de los primeros 10 ceros en la media-línea (también probando RH hasta ese punto por el método A Turing):

 0
 0.99014365233
 1.38830360231
 2.35103235859
 3.45296629741
 4.32708276131
 4.73989005257
 5.42392092883
 5.99574967707
 6.70167394143

El primer cero está en $s=1/2$ ya que el signo es $-1$ . La segunda trata de $s\approx 1/2+0.990i$

Como referencia, aquí están los ajustes de L-calc que utilicé, hackish como digo:

1
0
100000
0
2
.5
0.5 0.0
.5
0.5 0.0
51.884511447957879460656106859439682023
-1.0 0.0
0

Como se explica en su ayuda, el primer "1" dice que los coeficientes son enteros, el segundo "0" dice que no son especiales, el 3º "100000" dice que son tantos, el 4º "0" dice que no son periódicos, el 5º "2" dice grado 2, el 6º ".5" y "0.5 0.0" dicen la forma del factor gamma, el "51.884" es $\sqrt{163^2/\pi^2}$ como el conductor analítico, el "-1.0 0.0" es el signo, y el "0" final dice que no hay polos. Entonces los 100000 coeficientes se dan como enteros.

Answer 2

Puede descargar el paquete ComputeL desarrollado por Tim Dokchitser, véase

http://www.dpmms.cam.ac.uk/~td278/computel/index.html

Está basado en PARI, y calculará la función zeta de Dedekind de un campo numérico definido por un polinomio. Véase el archivo de ejemplo ex-nf.

EDIT: Veo que la respuesta anterior ya hacía referencia al paquete de Tim Dokchitser, a través de implementaciones en Magma. Aún así, el paquete independiente dice que hace algo distinto de lo que hace Magma, a saber, calcular la función zeta de Dedekind completa en lugar de descomponerla en un producto de funciones L de Artin.

No obstante, como se ha señalado anteriormente, el hecho de que el conductor sea $163^{16}$ hace que el cálculo sea poco práctico.

Answer 3

En primer lugar observamos que $\zeta_K$ numéricamente tiene doble cero en $1/2$ y preguntó question al respecto.

En un comentario, David E Speyer sugirió $L(s,\chi)^2$ debe dividir $\zeta_K$ .

Creemos que todos los ceros de $L(s,\chi)$ serán dobles ceros de $\zeta_K$ .

Comprobando los tres primeros ceros de la otra respuesta (están con muy baja precisión) dan $|\zeta_K(\rho)| \sim 10^{-22}$ y $|\zeta_K'(\rho)| \sim 10^{-11}$ . Estos resultados numéricos parecen sugerir que los tres primeros ceros complejos son dobles.

Magma en línea código por si a alguien le interesa:

 Z1<x>:=PolynomialRing(Integers());
 p1:=x^24 + 3*x^23 - 2*x^22 - 43*x^21 + 81*x^20 + 1579*x^19 + 2434*x^18 - 5192*x^17 + 4678*x^16 - 41425*x^15 + 423527*x^14 + 1352722*x^13 + 5199537*x^12 - 13364304*x^11 - 138065100*x^10 + 228783352*x^9 + 1254448448*x^8 - 3179566016*x^7 + 4205123840*x^6 + 139822208*x^5 - 31439415040*x^4 + 28607489536*x^3 + 330701977600*x^2 - 807251576832*x + 635017424896;
 Nf<w>:=NumberField(p1);
 L:=LSeries(Nf);
 I:=Sqrt(-1);
 //t0:=0.99014365233;
 //t0:=1.38830360231;
 t0:=2.35103235859;
 A:=1/2+I*t0;
 Evaluate(L,A);
 Evaluate(L,A : Derivative:=1);