¿Qué normas tienen grupos isométricos ricos?

Question

Sea $n \ge 2$ sea un número entero positivo. Dada una norma $p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ se puede indagar sobre la estructura y propiedades de su grupo de isometrías, es decir, el grupo de todas las biyecciones $F:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ tal que $p\left(v\right)=p\left(F\left(v\right)\right)$ para todos $v \in \mathbb{R}^n$ . Por el teorema de Mazur-Ulam, las isometrías de $p$ son transformaciones afines, por lo que el subgrupo $Iso_{0}\left(p\right)$ de todas las isometrías que fijan el origen, consiste en transformaciones lineales, y es por tanto un subgrupo cerrado de $GL_n (\mathbb{R})$ . Esencialmente, $Iso_{0}\left(p\right)$ es lo que obtenemos después de modificar las funciones obvias que preservan la distancia (las traslaciones), que no tienen ninguna relación con $p$ lo que sea.

Para algunas normas, $Iso_{0}\left(p\right)$ es un grupo muy pequeño. Por ejemplo, si $p$ es el $\ell^\infty$ norma o la $\ell^1$ entonces el grupo de $Iso_{0}\left(p\right)$ es finito, y esto parece ser el caso para todos los $\ell^q$ normas distintas de $q=2$ . En cambio, para la norma euclidiana ( $p = \ell^2$ ), $Iso_{0}\left(p\right)$ es un grupo bastante rico: es un grupo de Lie de dimensión positiva (que aumenta significativamente con $n$ ) - el grupo ortogonal $O(n)$ .

Obviamente, una diferencia significativa entre esta norma y otras posibles normas es que surge de un producto interior sobre $\mathbb{R}^n$ . Dado que sólo existe una estructura de producto interno en $\mathbb{R}^n$ (hasta conjugación) esto nos da esencialmente sólo un ejemplo de una norma con un rico grupo de isometrías lineales. Así que mis preguntas son:

1. ¿Existen otras normas (no inducidas por un producto interior) sobre $\mathbb{R}^n$ que tienen un rico grupo de isometrías lineales? Permítanme definir "rico" como aquel que tiene dimensión positiva como subgrupo de Lie de $GL_n (\mathbb{R})$ (todo grupo lineal cerrado es canónicamente un submanifold de $GL_n (\mathbb{R})$ compatible con la estructura del grupo).
2. Si no es así, ¿por qué la propiedad de ser inducida a partir de un producto interior es la condición "correcta" para tener muchas simetrías? Es decir, desde un punto de vista geométrico, ¿por qué esta propiedad hace que la norma sea especialmente "simétrica" o "suave"?

Answer 1

Como respuesta a (1), considérese cualquier subgrupo compacto $G\subset O(n)$ y mira el $G$ -sobre $\mathbb{R}^n$ que tienen homogeneidad $1$ . Mientras $G$ no actúa transitivamente sobre el espacio de líneas en $\mathbb{R}^n$ ese conjunto de funciones será adecuadamente mayor que el $O(n)$ -funciones invariantes de homogeneidad $1$ y cualquiera de ellas que esté suficientemente cerca de la norma estándar será una norma.

Como ejemplo concreto, consideremos la acción irreducible de $SO(3)$ en el $5$ -espacio vectorial dimensional $S$ de simétricos sin traza $3$ -por- $3$ matrices. Hay dos $SO(3)$ -polinomios invariantes en $S$ : $p_2(m) = trace(m^2)$ et $p_3(m) = det(m)$ . (Generan el anillo de $SO(3)$ -polinomios invariantes en $S$ .) Ahora dejemos que $$|m| = \bigl(p_2(m)^3 + \epsilon\ p_3(m)^2\bigr)^{1/6}.$$ para algunos pequeños $\epsilon$ . En $\epsilon>0$ es suficientemente pequeña, será una norma estrictamente convexa en $S$ y su grupo de simetría será $SO(3)$ que actúa irreduciblemente sobre $S$ .

Answer 2

La teoría de los espacios de Banach ha estudiado problemas afines. ¿Por qué no hablas con Yehoram (Joram) Gordon, que ha trabajado mucho en esta dirección?

En cuanto a (2), la respuesta es fácil: Si $C$ es el elipsoide de volumen máximo de John en el espacio, cualquier isometría lineal mapea $C$ sobre sí misma. Esto significa que se obtiene el "mayor" grupo de isometrías en el espacio a partir de una estructura euclidiana.

Answer 3

Siento llegar tan tarde a la fiesta, pero no he podido evitar darme cuenta de que falta una clase de normas matriciales ricas (que no son normas de operadores).

Estos son los Normas p-Schatten en $R^{n^2}$ que sólo ven los valores singulares de una matriz.

Es inmediato ver que estas normas son invariantes bajo la multiplicación izquierda y derecha por matrices ortogonales.

De ahí que, en particular, sus grupos de isometría contengan copias de $O(n)$ .

Así que $\dim(Iso(\| \cdot \|_{p-Schatten})) \ge \frac{n(n-1)}{2}$

Tenga en cuenta que para $p \neq 2$ estas normas no están inducidas por productos internos.

Answer 4

Como queda implícito en la respuesta de Bill y demostrado en la de Konrad la respuesta a ¿Grupos de automorfismo continuos de espacios vectoriales normados? todo grupo de isometría de un espacio normado es un subgrupo $G$ de $O(n)$ que contiene $-id$ .

Puede ser un buen punto de partida.

¿La dimensión positiva implica que el espacio contiene un plano euclidiano?

Olvídese de la norma original y considere la euclidiana $n$ -con un subgrupo cerrado de $O(n)$ actuando en consecuencia.

Sea $A$ cualquier elemento distinto de cero del álgebra de Lie tangente a $G$ . Desde $exp(\epsilon A)$ es una rotación, y toda rotación es equivalente a una matriz que tiene $2\times 2$ bloques de rotación en la diagonal y ceros en el resto. Expresado en las mismas (¿u otras?) coordenadas, $A$ probablemente tenía $2\times 2$ bloques antisimétricos en la diagonal y ceros en el resto (aunque ahora mismo no sé cómo demostrar este hecho sin abandonar el álgebra). El punto que tiene como primera coordenada $1$ y luego se mueve a ceros en un círculo alrededor del origen. Por lo tanto, el espacio contiene un plano euclidiano.

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Prueba fácil de que los espacios isótropos son euclidianos Elipsoide máximo Hacia una caracterización métrica de los espacios euclidianos (no está demasiado relacionado pero intento promocionarlo).

Answer 5

Una fuente de ejemplos para la pregunta (1): Si dos espacios normados finito-dimensionales tienen grupos de simetría "ricos", entonces el espacio de mapas lineales entre ellos con la norma del operador inducido también tendrá un grupo de simetría "rico".