No estoy de acuerdo con esta afirmación. Considere $9$ puntos del plano, denominados $x(i,j)$ donde $(i,j)$ está en $\{ 0,1,2 \}$ . Existen $12$ triples $((i_1, j_1), (i_2, j_2), (i_3, j_3))$ tal que $i_1 + i_2 + i_3 \equiv 0 \mod 3$ et $j_1 + j_2 + j_3 \equiv 0 \mod 3$ . Sea $L$ sea el conjunto de tales triples.
Considere la siguiente afirmación:
Supongamos que, para todo $((i_1, j_1), (i_2, j_2), (i_3, j_3)) \in L$ los puntos $x(i_1, j_1)$ , $x(i_2, j_2)$ et $x(i_3, j_3)$ son colineales. Entonces, o bien todos los $x(i,j)$ son colineales, o bien dos de los $x(i,j)$ son iguales entre sí.
Me parece que esta afirmación es un teorema de incidencia. Es cierto en $\mathbb{RP}^2$ y falso en $\mathbb{CP}^2$ que obedecen al teorema de Pappus. Aprendí este ejemplo de Kiran Kedlaya.
Para ver esto en $\mathbb{R}$ Obsérvese que un contraejemplo a esta afirmación es también un contraejemplo a la afirmación Teorema de Sylvester-Gallai . Más de $\mathbb{C}$ , las flexiones de cualquier curva cúbica forman un contraejemplo, como se comenta en la página de Wikipedia enlazada anteriormente. Más concretamente, creo que la afirmación es cierta en $K\mathbb{P}^2$ sólo si $K$ no contiene una raíz de $x^2+x+1$ .
En términos más generales, yo consideraría que un teorema de incidencia es una afirmación de primer orden sobre puntos y rectas en $\mathbb{RP}^2$ donde lo que se nos permite decir es que un punto dado se encuentra o no en una recta dada. Podemos convertir fácilmente tal afirmación en una afirmación algebraica sobre $\mathbb{R}$ .
Por a resultado de Tarski cualquier afirmación verdadera de esta forma se deduce de (1) los axiomas de campo (2) los axiomas de que $\mathbb{R}$ tiene un orden $\leq$ que obedece a las propiedades estándar y (3) el "teorema del valor intermedio polinómico": para cualquier polinomio $f \in \mathbb{R}[t]$ si $f(a)<0$ et $f(b)>0$ entonces existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c)=0$ .
Por ejemplo, para demostrar que $x^2+x+1$ no tiene raíces en $\mathbb{R}$ Sólo hay que tener en cuenta que $x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4 \geq 3/4$ . Aquí hemos utilizado los axiomas de campo (muchas veces) y las propiedades básicas de $\leq$ .
El teorema de Pappus codifica la conmutatividad de la multiplicación, y te creeré que los demás axiomas de campo también pueden deducirse de él. Sin embargo, ciertamente no incluye las propiedades relacionadas con las desigualdades. Así pues, si preparo un enunciado algebraico (como el anterior) cuya demostración requiera las propiedades de orden de $\mathbb{R}$ no podrás demostrarlo a partir del teorema de Pappus. En realidad no lo he resuelto, pero es de suponer que si aplicas el algoritmo de Tarski a la afirmación anterior, te dará una demostración que, en algún momento, implica dividir por $x^2+x+1$ para una cantidad desconocida $x$ .
Mencionaré que los axiomas de un matroid orientado son un intento de sistematizar las propiedades de $\mathbb{RP}^2$ deducible de las propiedades de orden de $\mathbb{R}$ . Podría ser cierto que todo teorema de incidencia verdadero en $\mathbb{RP}^2$ es deducible del teorema de Pappus, más el axioma de que el conjunto de puntos del plano puede dotarse de la estructura de un matroid orientado de rango $3$ donde las bases son los triples no colineales.
