Para la ecuación $y = 4x^2 + 8x + 5$ ¿cuáles son los valores enteros de x tales que y/13 es un número entero?

Question

Para la ecuación $y = 4x^2 + 8x + 5$ ¿cuáles son los valores enteros de x tales que y/13 es un número entero?

Por ejemplo, si x = 3, $y = 4(3^2) + 8(3) + 5$ = 65 que es divisible por 13

si x = 8, y = 325 que es divisible por 13

si x = 16, y = 1157 que es divisible por 13

si x = 21, y = 1937 que es divisible por 13

Supongo que los valores de x = 13i + 3 o x = 13i + 8, donde i es un número entero, darán como resultado un valor de y que es divisible por 13.

¿Cómo demuestras que x = 13i + 3 o x = 13i + 8 darán como resultado un valor de y que es divisible por 13?

¿Existe una prueba general para encontrar valores de x que den como resultado un valor de y que sea divisible uniformemente por un entero impar p?

Answer 1

Probemos con este enfoque:

$\begin{align} 4x^2+8x+5 &= 4(x+1)^2+1 &\equiv 0 &\quad(\text{mod} 13)\\ &\Rightarrow 4(x+1)^2 &\equiv 12 &\quad(\text{mod} 13)\\ &\Rightarrow (x+1)^2 &\equiv 3 &\quad(\text{mod} 13)\end{align}\\$

Sustituyendo por $x+1 = f$ buscamos sacar la raíz cuadrada de 3 módulo 13. Lo siguiente es cierto: $$n^2 \equiv (13-n)^2 \quad (\text{mod} 13)$$

Basta con mirar los números del 0 al 6:

$\begin{align} 0^2 &\equiv 0 (\text{mod} 13),\\ 1^2 &\equiv 1 (\text{mod} 13),\\ 2^2 &\equiv 4 (\text{mod} 13),\\ 3^2 &\equiv 9 (\text{mod} 13),\\ 4^2 &\equiv 3 (\text{mod} 13),\\ 5^2 &\equiv 12 (\text{mod} 13),\\ 6^2 &\equiv 10 (\text{mod} 13). \end{align}$

Así, los números de la forma $f = 13m + 4$ resolver el problema. Además $f = 13m + 9$ resolverá el problema. Desde $x = f-1$ nuestras soluciones son números de la forma: $x \in \{13m + 3, 13m +8, \text{where } m\geq 0\}$ .

Answer 2

Busca soluciones para $4x^2+8x+5\equiv 0 \pmod {13}$ . Puedes utilizar la fórmula cuadrática habitual y hallar $x=\frac {-8 \pm \sqrt{64-80}}8$ . No dejes que el número negativo bajo la raíz cuadrada te moleste porque $\pmod {13}$ tenemos $-16 \equiv 10$ . Debe averiguar si $10$ es un cuadrado $\bmod 13$ . Una forma es simplemente probarlos. Aquí encontramos $6^2 \equiv 7^2 \equiv 10 \pmod {13}$ . Teniendo en cuenta que $8\cdot 5 \equiv 1 \pmod {13}$ podemos decir que $x=5(-8\pm 6)\equiv 3,8 \pmod {13}$

Hay toda una teoría de reciprocidad cuadrática que dice cuando las cosas son raíces cuadradas en anillos de enteros. No la he estudiado.

Answer 3

Sugerencia $\bmod 13\!:\,\ 0\equiv -3(4x^2\!+\!8x+5)\equiv x^2\! +\!2x\!-\!15\equiv (x\!+\!5)(x\!-\!3)\ $ así que $\,x\equiv -5,3$

Answer 4

Vas por buen camino.

En $x=13i+3$ , $y=4(13i+3)^2+8(13i+3)+5= 4(169i^2+78i+9)+8(13i+3)+5$ .

Dejando fuera algunos múltiplos de $13$ Esto es $4\times 9+8\times3+5=36+24+5=65=5 \times 13$ .

Esto demuestra que, cuando $x=13i+3$ , $y$ es múltiplo de $13.$

(Dejaré $x=13i+8$ como ejercicio).

Answer 5

Completando el cuadrado; $$4x^2+8x+5=(2x+2)^2+1,$$ por lo que resolviendo la congruencia $\;4x^2+8x+5\equiv 0\mod 13$ equivale a resolver $$\bigl(2(x+1)\bigr)^2\equiv -1\mod 13,$$ y finalmente a encontrar las raíces cuadradas $y$ de $-1\bmod 13$ (sabemos que esto es posible porque $13\equiv 1\mod 4$ ).

Tenga en cuenta que $5^2\equiv -1\mod 13$ por lo que la otra raíz cuadrada es $-5\equiv 8$ y puesto que $2^{-1}\equiv 7\mod 13$ las soluciones en $x$ son $$ x\equiv 7\cdot\pm 5 -1\equiv 8,3\mod 13.$$