Para cualquier grupo de Lie $G$ existen muchas métricas riemannianas invariantes a la izquierda, es decir, basta con tomar cualquier producto interior sobre el espacio tangente a la identidad $T_eG$ y luego lo trasladamos a la izquierda a los otros espacios tangentes. Si $G$ es compacto, se puede hacer mejor. En concreto, se puede empezar con un producto interno en $T_eG\cong\mathfrak g$ que también es invariante bajo la representación adjunta $\mathrm{Ad}:G\to GL(\mathfrak g)$ (obtenido promediando un producto interior arbitrario con respecto a una medida de Haar) y resulta que la métrica riemannniana resultante sobre $G$ también es invariante a la derecha. Como es invariante bajo traslaciones a la izquierda y a la derecha, se llama bi-invariante.
La geometría riemanniana de las métricas bi-invariantes es muy bonita. Por ejemplo, las geodésicas a través de la identidad coinciden con grupos de un parámetro, por lo que el mapa exponencial riemanniano coincide con el exponencial del grupo de Lie. El tensor de curvatura de Riemann tiene una fórmula sencilla $R(X,Y)X=-[[X,Y],X]$ para vectores unitarios $X$ , $Y\in\mathfrak g$ de lo que se deduce que la curvatura seccional es no negativa. En realidad, los grupos de Lie semisimples compactos equipados con métricas riemannianas bi-invariantes son espacios simétricos de tipo compacto (la simetría geodésica en la identidad es el mapa de inversión $g\mapsto g^{-1}$ ) y, por tanto, sus invariantes geométricas y topológicas se pueden calcular explícitamente.
Fijar una métrica bi-invariante en un grupo de Lie compacto semisimple $G$ . Como para cualquier otro espacio simétrico, la ecuación de Jacobi a lo largo de una geodésica fija $\gamma$ (digamos a partir de $e$ ) tiene coeficientes constantes con respecto a un marco ortonormal paralelo (ya que la curvatura seccional es paralela). Invocando la descomposición del espacio de raíces reales del álgebra de Lie $\mathfrak g = \mathfrak t+\sum_{\alpha\in\Delta^+} \mathfrak g_\alpha$ con respecto a un toro maximal con álgebra de Lie $\mathfrak t$ tenemos $R ( H , X_\alpha)H = \mathrm{ad}_H^2 X_\alpha = -\alpha(H)^2 X_\alpha$ y, por tanto, un campo de Jacobi típico $J$ a lo largo de $\gamma(t)=\exp tH$ (para un vector unitario $H\in\mathfrak t$ ) que desaparece en $t=0$ es de la forma $J(t)=\sin(\alpha(H)t)X_\alpha(t)$ donde $X_\alpha(t)$ es el paralelo a lo largo de $\gamma$ con $X_\alpha(0)=X_\alpha\in\mathfrak g_\alpha$ . De ello se deduce que $\gamma(t)$ es un punto conjugado a $\gamma(0)=e$ a lo largo de $\gamma$ si $\alpha(H)t\in \pi\mathbf Z$ y entonces la contribución a la multiplicidad es $\dim\mathfrak g_\alpha=2$ . Vemos que la multiplicidad total del punto conjugado $\gamma(t)$ es el doble del número de raíces $\alpha\in\Delta^+$ tal que $\alpha(H)t\in\mathbf Z$ de ahí que sea par. En otras palabras, en métricas bi-invariantes los puntos conjugados siempre tienen multiplicidad par (en particular, debido al teorema del índice de Morse también el índice de las geodésicas es siempre par).
Mi pregunta es si esta propiedad caracteriza a las métricas bi-invariantes entre las invariantes a la izquierda. Es decir, supongamos que tenemos una métrica riemanniana invariante a la izquierda sobre $G$ tal que para cada punto $g\in G$ conjugado al elemento identidad a lo largo de una geodésica la multiplicidad es par. ¿Es cierto que la métrica debe ser bi-invariante?
