Primera pregunta : Para un semisimple invertible $n \times n$ matriz con entradas sobre un campo K su polinomio característico describe completamente la clase de similitud de la matriz. Para elementos no simples, el polinomio característico ya no es una descripción completa de la clase de similitud, pero existe la forma canónica racional, que es un invariante completo.
Me interesa saber si podemos encontrar invariantes que ayuden a determinar la clase de similitud de los elementos de $GL(n,\mathbb{Z})$ (donde $\mathbb{Z}$ es el anillo de los números enteros) bajo la $GL(n,\mathbb{Z})$ -acción de conjugación. Claramente, los invariantes para la clase de similitud sobre $\mathbb{Q}$ pero hay matrices semisimples en la misma clase de similitud sobre $\mathbb{Q}$ pero no conjugado sobre $\mathbb{Z}$ :
1 0
0 -1
y
0 1
1 0
Estos son claramente conjugados en $GL(2,\mathbb{Q})$ pero no en $GL(2,\mathbb{Z})$ . Para ver por qué no son conjugadas en esta última, observe que al reducir mod 2, la primera matriz se convierte en la matriz identidad y la segunda en una matriz no identidad, por lo que no pueden ser conjugadas mod 2, y por tanto no pueden ser conjugadas en $GL(2,\mathbb{Z})$ .
Segunda pregunta : Para un grupo finito G , llame a representaciones $\alpha, \beta: G \to GL(n,R)$ "localmente conjugado" si $\alpha(g)$ es conjugado con $\beta(g)$ para cada $g \in G$ a través de algún elemento de $GL(n,R)$ en función de g .
Decimos que $\alpha$ , $\beta$ son equivalentes como representaciones si podemos elegir un único elemento de $GL(n,R)$ que conjuga $\alpha(g)$ a $\beta(g)$ para cada $g \in G$ .
Mi pregunta es: ¿localmente conjugado implica equivalente cuando $R = \mathbb{Z}$ ?
NOTA 1: Cuando R es un campo de característica no divisoria del orden de G entonces localmente conjugado implica equivalente, y podemos demostrarlo observando que $\alpha$ , $\beta$ tienen el mismo carácter (SORRY, el "mismo carácter" es suficiente para completar la prueba sólo en la característica cero -- en características primos, incluso aquellos que no dividen el orden del grupo, tener el mismo carácter no es lo suficientemente bueno para concluir que las representaciones son equivalentes. Sin embargo, el "localmente equivalente implica equivalente" parece seguir siendo válido cuando la característica no divide el orden de G utilizando argumentos más indirectos). Sin embargo, para $\mathbb{Z}$ el carácter ya no determina la representación, por lo que la prueba utilizada para los campos (tomando el carácter) no funciona para $\mathbb{Z}$ .
NOTA 2: Cuando la característica de R divide el orden de G existen ejemplos de representaciones localmente conjugadas que no son equivalentes -- de hecho, podemos construir tales ejemplos para el grupo de cuatro de Klein con el campo de cuatro elementos. No he tenido éxito con el uso de estos para generar contra-ejemplos sobre $\mathbb{Z}$ aunque puede haber una manera.
