Mensurabilidad de Lebesgue y CH débil

Question

Sea $LM$ denotan "todos los subconjuntos de $\Bbb{R}$ son medibles en Lebesgue", y

$WCH$ (hipótesis del continuo débil) denotan "todo subconjunto incontable de $\Bbb{R}$ se puede poner en correspondencia 1-1 con $\Bbb{R}$ ".

[ Advertencia: en otros contextos, la CH débil significa algo totalmente diferente, es decir, a veces significa $2^{\aleph_{0}} < 2^{\aleph_{1}}$ ].

Sabemos que $LM$ y $WCH$ ambos se mantienen en los modelos Solovay. Forzando un ultrafiltro (Ramsey) sobre un modelo Solovay también se puede disponer $WCH+\neg LM$ (debido al trabajo conjunto de Di Prisco y Todorcevic, que demostraron que la propiedad de conjunto perfecto se cumple en la extensión genérica).

Esto suscita mi pregunta ( $DC$ a continuación es elección dependiente).

Pregunta : ¿Se sabe, en relación con los grandes axiomas cardinales apropiados, si existe un modelo de $ZF+LM+DC+\neg WCH$ ?

Mi pregunta surgió de un FOM- pregunta de Tim Chow, y mi responder a la misma; véase también Respuesta de Chow .

Answer 1

Esto es una ampliación de mis comentarios anteriores. En el artículo con Zapletal al que hago referencia, asumimos una clase propia de cardinales de Woodin y forzamos sobre $L(\mathbb{R})$ con un orden parcial de aproximaciones contables a cierto tipo de familia MAD (que Jindra denominó familia MAD "mejorada"). Aunque todavía tengo que escribir los detalles, creo que el modelo resultante satisface LM (claramente satisface DC), y que, en este modelo, $\mathbb{R}$ no pueden inyectarse en la familia genérica MAD. Los argumentos que tengo en mente son aplicaciones directas de los argumentos dados en el documento.

El artículo de Horowitz y Shelah al que hago referencia en mi segundo comentario parte del supuesto de un cardinal fuertemente inaccesible y, según tengo entendido, añade la construcción de una familia MAD genérica al argumento de Solovay. Como se muestra en su artículo, DC + LM se mantienen en el modelo resultante. Escribí a Haim y le pregunté si $\mathbb{R}$ se puede inyectar en la familia genérica MAD en este modelo, y dijo que no. Dice que actualizará su artículo para incluir una prueba de esto (así que probablemente tendrán una prueba antes que nosotros).