Considere $4$ ensayos cada uno con la misma probabilidad de éxito. Sea $X$ denotan el número total de aciertos en estos ensayos, si $\mathbb{E}(X) = 2$ ¿Qué es
A) el valor máximo de $P(X =4)$
B) el valor mínimo de $P(X = 4)$
Realmente no sé cómo enfocar esta pregunta, todo lo que hice fue decir que $\mathbb{E}(X) = np = 4p =2$ Lo que da $p =\frac{1}{2}$ así que $P(X =4)=\frac{1}{16}$ pero esto no es correcto y tampoco se como hacer la segunda parte
Aunque mi respuesta no coincide con la que se da en su libro, la publicaré aquí, para ver si alguien más de la comunidad encuentra el error en mi planteamiento
Si llama a $S_i$ , $1\leq i \leq 4$ en caso de éxito en la $i$ -ésima prueba, entonces $$P(S_1 \cap S_2 \cap S_3 \cap S_4) = P(S_1) \cdot P(S_2|S_1) \cdot P(S_3|S_1\cap S_2) \cdot P(S_4|S_1\cap S_2 \cap S_3).$$ Ya ha señalado que $P(S_i) = \frac{1}{2}$ por lo que debemos tener $$0 \leq P(S_1 \cap S_2 \cap S_3 \cap S_4) \leq \frac{1}{2}.$$
Veamos dos escenarios en los que se alcanzan valores extremos.
En ambos casos, elige al azar una urna y extrae $4$ bolas y dejar que $X$ sea la variable aleatoria que cuenta el número de, digamos, bolas negras extraídas.
En la primera hipótesis $P(X = 0) = P(X=4) = \frac{1}{2}$ y $P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = 0$ .
En la segunda hipótesis $P(X=0) = P(X=2) = P(X=4) = 0$ y $P(X=1) = P(X=3) = \frac{1}{2}$ .
Así que en ambos casos $\Bbb E[X]=2$ .
Comprobemos ahora $P(S_i)$ que viene dado por $$P(S_i) = \frac{P(S_i|U_1) + P(S_i|U_2)}{2},$$ $U_1$ y $U_2$ siendo el suceso de elegir la primera y la segunda urna respectivamente.
En la primera hipótesis $P(S_i|U_1) = 1$ y $P(S_i|U_2) = 0$ de modo que $P(S_i) = \frac{1}{2}.$
En la segunda hipótesis $P(S_i|U_1) = \frac{1}{4}$ y $P(S_i|U_2) = \frac{3}{4}$ . Así, de nuevo $P(S_i) = \frac{1}{2}$ según sea necesario.
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