Gradiente de una función restringida a una submanifold

Question

Sea $f$ sea una función suficientemente suave sobre una variedad $S$ . Sea $M$ sea una submúltiple de $S$ . ¿Puede alguien mostrar cómo es entonces cierto que $(\text{grad}f|_M)_p$ en un punto $p$ (gradiente de la cartografía $f|_M$ restringido a $M$ en un punto $p\in M$ ) es la proyección ortogonal de $(\text{grad}f)_p$ en $T_p(M)$ ?

Answer 1

Necesitas una métrica: $$ g(\operatorname{grad}f,v)=v(f) \qquad g|_M(\operatorname{grad}f|_M,v_m)=v_m(f|_M) \\ $$ para todos los vectores tangentes (ésta es la definición), y si $\operatorname{grad}f = V_o+V_t$ es la descomposición ortogonal en el espacio tangente ambiente $$ g|_M(\operatorname{grad}f|_M,v_m)=v_m(f|_M)=v_m(f)=g(\operatorname{grad}f,v_m) =g(V_o+V_t,v_m)=g(V_o,v_m)+g(V_t,V_m)=g(V_t,v_m) $$ así que $$ g(\operatorname{grad}f|_M,-)=g(V_t,-) $$ lo que significa, por definición, que son iguales.