Ecuaciones geodésicas en la geometría de Schwarzschild

Question

Estoy un poco confundido con las siguientes ecuaciones. En la conferencia derivamos las siguientes cuatro ecuaciones para un movimiento geodésico de una partícula en la geometría de Schwarzschild utilizando el enfoque lagrangiano:

$(1)\hspace{10mm}\Theta = \frac{\pi}{2}$

$(2)\hspace{10mm}\big( 1- \frac{2\mu}{r}\big )\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=K$

$(3)\hspace{10mm}r^{2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\tau} = h$

$(4)\hspace{10mm}c^{2}\big( 1- \frac{2\mu}{r}\big )\big(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\big)^{2}-\big( 1- \frac{2\mu}{r}\big )^{-1}\big(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\big)^{2}-r^{2}\big (\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\tau}\big )^2=\begin{cases}=c^{2}, \hspace{5mm}\text{massive particle}\\ = 0, \hspace{5mm}\text{massless particle}\end{cases}$

donde $t,r,\theta,\varphi$ son las coordenadas habituales de Schwarzschild y $K$ y $h$ son constantes (no dependen de ninguna coordenada).

Ahora a mi pregunta: Porque $K$ es una constante, que no depende de ninguna otra coordenada, podemos observar el límite $r\to\infty$ . Utilizando la ecuación (2) en este límite encontramos trivialmente $K=1$ y como K no depende de la coordenada radial, K tiene que ser igual a 1 en todas partes. Por lo tanto, podemos reescribir la ec. (2) como

$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}=\bigg( 1- \frac{2\mu}{r}\bigg )^{-1}$$

¡Pero esto no puede ser verdad!

¿Dónde está mi error de pensamiento?

Answer 1

En primer lugar, cuando se toma el $r\to \infty$ límite en la ecuación (2), estás asumiendo que la partícula puede realmente alcanzar el infinito. Por supuesto, esto no siempre es cierto, ya que existen órbitas limitadas en la geometría de Schwarzschild. Pero suponiendo que sea así, tampoco es cierto que $dt/d\tau = 1$ en el infinito. De la relatividad especial, $dt/d\tau$ es la componente temporal de la cuatro-velocidad (también conocida como la energía), que es

$$u^t = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} = \gamma(v),$$

por lo que la ecuación correcta es

$$K = \gamma(v_\infty) \geq 1,$$

donde $v_\infty$ es la velocidad en el infinito. Los valores posibles de $K$ luego se divide en tres regiones: $K>1$ para las órbitas que llegan al infinito (los análogos de las órbitas hiperbólicas en el problema de Kepler), $K<1$ para los que no, y $K=1$ para el caso crítico de una trayectoria cuya velocidad se aproxima asintóticamente a cero.

Answer 2

Sus dos constantes $K$ y $h$ no son constantes para todos geodésicas. Son constantes para a particular geodésico. $K$ y $h$ son la energía y el momento angular de la geodésica. Cada geodésica tiene una energía y un momento angular fijos, pero no todas las geodésicas tienen la misma energía y momento angular. Si se toma el límite como $r\rightarrow\infty$ ese resultado sólo se aplica a las geodésicas que realmente llegan al infinito, por ejemplo, las geodésicas no enlazadas.

@Javier también señala que si quieres considerar $K(r\rightarrow\infty)$ hay que tomar el límite de toda la expresión, incluyendo $dt/d\tau$ .