Demostración de la asociatividad y conmutatividad de una operación binaria dada por una tabla de Cayley

Question

Sea $*$ sea una operación binaria sobre el conjunto $S:=\{0,1\}$ dada por la siguiente tabla de Cayley: \begin{array}{c|cc} * & 0 & 1\\\hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} Si quiero demostrar que esta tabla es asociativa, ¿para cuántas combinaciones diferentes de argumentos tengo que demostrarlo? La conmutatividad es fácil de demostrar porque la tabla es simétrica a lo largo de la diagonal principal. Sin embargo, sé que como la asociatividad y la conmutatividad son propiedades universales, tengo problemas para averiguar lo que se indica: ¿para cuántas combinaciones diferentes de argumentos tengo que ejecutar (por ejemplo $0*(0*1)=1*(0*0)$ mostrar $*$ es asociativo en el conjunto $S$ ?

Answer 1

Asociatividad significa que para todo $a, b $ y $c$ en $S$ , $(a * b) * c = a * (b * c).$

Desde $S$ sólo tiene dos elementos,

sólo hay dos posibilidades que comprobar $a$ dos por $b$ y dos para $c$ ;

En total, hay $2\times2\times2=8$ posibilidades de comprobar:

$(0*0)*0=0*(0*0)$

$(0*0)*1=0*(0*1)$

$(0*1)*0=0*(1*0)$

$(0*1)*1=0*(1*1)$

$(1*0)*0=1*(0*0)$

$(1*0)*1=1*(0*1)$

$(1*1)*0=1*(1*0)$ y

$(1*1)*1=1*(1*1)$ .

Answer 2

Como alternativa a la comprobación caso por caso (que requiere $8$ ), se podría observar que $a*b \equiv a+b \pmod{2}$ . Entonces usted consigue que $*$ es asociativa porque la suma modular es asociativa.

Answer 3

Una búsqueda exhaustiva de todas las tripletas sobre un conjunto con $2$ elementos requiere para verificar $2^3=8$ ecuaciones diferentes.

En su lugar, podemos probar con el método mostrado en Verificación de la asociatividad de una operación binaria por S. Kamal Abdali . De la tabla de Cayley \begin{array}{c|cc} * & 0 & 1\\\hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array} obtenemos: \begin{array}{c|cc} * & 0 & 1\\\hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\\hline 0 & 0 & 1\\\hline \end{array} entonces \begin{array}{c|cc} * & 0 & 1\\\hline 0 & & \\ 1 & & 0\\\hline 0 & 0 & 1\\\hline \end{array} y \begin{array}{c|cc} * & 0 & 1\\\hline 0 & & \\ 1 & & \\\hline 0 & & 1\\\hline \end{array} Así que, rápidamente, verificamos que esta operación es asociativa.