Espacio métrico separable con núcleo de 0 dimensiones

Question

Supongamos que $X$ es un espacio métrico separable, sea $D(X)$ denotan el Cantor-Bendixson derivado de $X$ y $D_\alpha(X)$ el $\alpha$ -ésima derivada de $X$ .

Denotamos $\operatorname{Ker}(X)$ el núcleo de $X$ que es el subespacio menos derivado de $X$ tal que $D_\alpha(\operatorname{Ker}(X))=\operatorname{Ker}(X)$ para todos $\alpha$ . Esto implica que el núcleo es un espacio perfecto.

Decimos que un espacio topológico es dimensión cero si es Hausdorff y tiene una base de conjuntos cerrados.

Teorema: Supongamos que $X$ es un espacio métrico separable, y $\operatorname{Ker}(X)$ es de dimensión cero, entonces $X$ es de dimensión cero.

La prueba que nos dieron es bastante constructiva, y bastante larga y llena de detalles. Sin embargo, como soy una persona perezosa, buscaba una prueba más corta.

Mis esfuerzos llegaron a esta conclusión:

Supongamos que $\alpha=\gamma+\beta$ para $\gamma,\beta<\alpha$ y que para todos $\beta<\alpha$ tenemos que si $D_\alpha(X)$ es de dimensión cero, entonces también lo es $X$ entonces $D_\alpha(X)$ ser de dimensión cero implica $X$ es de dimensión cero.

Prueba: Tenga en cuenta que $D_\alpha(X) = D_\beta(D_\gamma(X))$ Por lo tanto $D_\gamma(X)$ es de dimensión cero, y por tanto $X$ es.

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Sin embargo, esta demostración no es válida para ordinales indecomponibles (por ejemplo. $\omega$ , $\omega^\omega$ etc.), lo que hace que sea de muy poca utilidad. Estoy seguro de que tal argumento se puede hacer para ordinales indecomponibles (u ordinales límite en general), sólo que no puedo encontrarlo.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Edita: Parece probable que el requisito de que $X$ es un espacio separable y métrico es redundante. Lo más probable es que sea cierto para los espacios Hausdorff y (¿completamente?) regulares.

Answer 1

(Creo que he encontrado una prueba, aunque no estoy seguro al 100% de que sea correcta).

Teorema: Supongamos que $X$ es un espacio métrico, entonces si $D_\alpha(X)$ es de dimensión cero, también lo es $X$ .

Denote por $D_\alpha$ el $\alpha$ -y que $I_\alpha=D_\alpha\setminus D_{\alpha+1}$ es decir, los puntos aislados de $D_\alpha$ .

Supongamos $D_\alpha$ es de dimensión cero, es decir, Hausdorff y tiene una base de conjuntos cerrados. Denotemos dicha base por $\mathcal B$ .

Generamos una base clopen para $X$ por inducción. Denotemos la topología $\tau$ .

Toma $B_0$ como base para $\tau^0$ formado como sigue: $U\in B_0$ si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones:

1. $U\in\mathcal B$ para cada $x\in U$ , $x$ no es un punto límite (en $X$ ) de la secuencia de $X\setminus D_\alpha$ ;
2. $U = V\cup\{x_n\in X\setminus D_\alpha\mid n<\omega\}$ donde $x_n$ es una secuencia cuyo límite está en $V$ para algunos $V\in\mathcal B$ ;
3. $U=\{x\}$ para $x\notin D_\alpha$ ;
4. $X\setminus U$ tiene una de las propiedades anteriores.

Reclamación: $U\in B_0$ es cerrado en la topología $\tau^0$ .
Prueba: La prueba es trivial, ya que $X\setminus U\in B_0$ .

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Supongamos que $B_\gamma$ para $\gamma<\beta$ y genera una topología de dimensión cero. Definimos una base para $\tau^\beta$ , $B_\beta$ . Toma $U\subseteq X$ entonces $U\in B_\beta$ si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones:

1. $U\in \bigcup_{\gamma<\beta} B_\gamma$ y para cada $x\in U$ no hay ninguna secuencia en $I_\beta$ tal que $x$ es un punto límite de la misma;
2. $U = V\cup\{x_n\in \bigcup_{\gamma<\beta} I_\gamma\mid n<\omega\}$ para algunos $V\in \bigcup_{\gamma<\beta} B_\gamma$ y $\lim x_n\in V$ ;
3. $U=\{x\}$ para $x\in I_\beta$ ;
4. $X\setminus U$ tiene una de las propiedades anteriores.

Reclamación: $U\in B_\beta$ es cerrado en la topología $\tau^\beta$ . (trivial como antes)

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Reclamación: $\tau=\tau^\alpha$ .
Prueba: Supongamos que $x_n\to x$ en $\tau$ . Si $x_n\in D_\alpha$ entonces $x\in D_\alpha$ y la convergencia es la misma en $\tau^\alpha$ . Supongamos que $x_n\notin D_\alpha$ . Si $x\in D_\alpha$ entonces para cada conjunto cerrado que contenga $x$ unimos infinitas $x_n$ por lo que la convergencia se mantiene.

En caso contrario, puesto que $D_\beta$ son siempre cerrados tenemos que $x\in I_\beta$ tal que $x_n\notin D_\beta$ en particular en el $\beta$ -ésimo nivel, $\tau^\beta$ era tal que todo conjunto que contuviera $x$ estaba rodeada de infinitas $x_n$ 's.

Para la otra dirección tenemos que si $x_n\to x$ en $\tau^\alpha$ entonces una vez más nos ocupamos de los casos - si la secuencia en $D_\alpha$ hemos terminado, de lo contrario $\beta$ en el que $x\in I_\beta$ . En particular $x_n\to x$ implica todo conjunto abierto con $x$ tiene infinitas $x_n$ 's, de lo que se encargaba si y sólo si $x_n$ era una secuencia de puntos que se eliminaban antes de $D_\beta$ y $\tau$ ha convergido a $x$ . En particular $x_n\to x$ en $\tau$ .

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Tenemos que $\tau$ tiene $B_\alpha$ como base de conjuntos clopen, según sea necesario. (La separabilidad y la segunda contabilidad se mantienen mediante este proceso, y creo que la prueba se generaliza fácilmente a los espacios de Hausdorff sustituyendo las secuencias por redes).

Un buen corolario es que si el núcleo de $X$ es de dimensión cero, entonces $X$ es de dimensión cero.