Convergencia de $u_{n+1} =\sqrt{\sum_{k=0}^{n} u_k}$

Question

Intento estudiar la convergencia de la secuencia definida por:

$$u_0 = a>0, u_{n+1} = \sqrt{\sum_{k = 0} ^{n} u_k}$$

He demostrado que $$u_{n+1} - {u_n} = \frac{u_n}{u_{n+1}+{u_n}} \tag{$ * $}$$ desde $$u_{n+1} - {u_n} = \sqrt{\sum_{k=0}^{n}u_k} - \sqrt{\sum_{k=0}^{n-1}u_k}$$ luego racionalizar para llegar a $(*)$ . Y como se puede demostrar fácilmente (inducción) que $u_n>0$ para todos $n$ tenemos que $$u_{n+1}-u_n>0 \Rightarrow u_{n+1}>u_n$$ S0 $(u_n)$ es una secuencia creciente. Supongamos que $(u_n)$ estaba acotada por encima, entonces $u_n \rightarrow u$ para algunos $u\in\mathbb{R}$ . Pasar al límite en $(*)$ tenemos el $u = 0$ pero esto es imposible ya que $u_0>0$ y $(u_n)$ aumentando entonces $(u_n)$ no converge.

¿Es correcto este argumento?

Answer 1

Otra forma de verlo es observar que $(u_n)$ también verifica la fórmula de recurrencia $$u_{n+1}=\sqrt{u_n+u_n^2}$$ y estudiar la función $f:x\mapsto \sqrt{x+x^2}$ . Esta función estabiliza el intervalo $[0,+\infty[$ es estrictamente creciente y es fácil demostrar que $x>0$ implica $f(x)>x$ .

Así que la secuencia $(u_n)$ es estrictamente creciente, y no puede ser acotado porque, como has dicho, el único punto fijo por $f$ es $0$ .

Sería divertido entonces encontrar un equivalente de $u_n$ :-)

Esto es lo que he encontrado : de $u_{n+1}=\sqrt{u_n+u_n^2}$ , primero se puede derivar, como usted señaló, $$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{u_n+u_{n+1}}< \frac{1}{2}$$ porque $(u_n)$ es estrictamente creciente. Esto conduce a $$u_n=u_1+\sum_{k=1}^{n-1} u_{k+1}-u_k\le 1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$$ Pero también se puede derivar $$u_{n+1}=u_n\sqrt{1+\frac{1}{u_n}}$$ y porque probamos $\lim u_n=+\infty$ , podemos utilizar el desarrollo : $$u_{n+1}=u_n(1+\frac{1}{2u_n}+o(\frac{1}{u_n})) = u_n+\frac12 +o(1)$$ así que $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}+o(1)\sim \frac12$$ y por el teorema de Cesaro (o por sumas de equivalentes) : $$u_n = u_1+\sum_{k=1}^{n-1} u_{k+1}-u_k \sim \frac n2$$ Así que ya tienes el límite, un límite superior y un equivalente :-)

Answer 2

Puesto que cada $u_n$ es positivo, tenemos $u_n \ge \sqrt {u_0}$ para $n \ge 1$ y luego $u_n \ge \sqrt {(n-1)\sqrt {u_0}}$ para $n \ge 2$ lo que demuestra que $(u_n)$ diverge.

Answer 3

Deje

$$v_n=\frac{\sum_{k=0}^n u_k}{n+1}$$ .

tenemos

$$\frac{u_{n+1}^2}{n+1}=v_n$$ .

si $lim_{n\to +\infty}u_n=L$ entonces

$0=\lim_{n\to+\infty} v_n=L$

usando la media de Cesaro.

Ahora bien, si $(u_n)$ aumenta y

$u_0=a>0$ el límite no puede ser $0$ .

así $(u_n)$ diverge.

O SIN CESARO

tenemos

$$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{u_n+u_{n+1}}$$

y cuando $n\to +\infty$

$$L-L=\frac{L}{2L}$$

lo que demuestra que

$(u_n)$ diverge.