Supongamos que $f:[0,1]\to[0,1]^2$ es continua y para cada $t\in[0,1]$ el área de $\lbrace f(s) : 0\le s\le t \rbrace$ es $t$ . ¿Para qué conjuntos de valores de $t\in[0,1]$ puede $\lbrace f(s) : 0\le s\le t \rbrace$ ser convexo? Todos $t$ ? Sólo contablemente muchos $t$ ? En caso afirmativo, ¿qué conjuntos contables? ¿Los topológicamente discretos? ¿Los densos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como dije en el comentario anterior, yo piense en que el conjunto de puntos $t\in[0,1]$ donde una curva de llenado cuadrado con área estrictamente creciente define una convexa $f([0,t])$ es un conjunto cerrado no denso que contiene $0$ y $1$ y, a la inversa, cualquier conjunto de este tipo puede obtenerse de esta manera. Aunque no estoy seguro de cómo demostrar que dicho conjunto no es siempre denso en ninguna parte, la otra dirección parece más fácil de seguir, y permite una bonita construcción (intentaré incluir también una imagen). Precisamente:
Para cualquier subconjunto denso cerrado en ninguna parte $C$ de $I:=[0,1]$ que contiene $0$ y $1$ existe un relleno cuadrado curva $f:I\to I\times I$ con el propiedad que $f([0,t])$ tiene área $t$ para todos $t\in I$ y $f([0,t])$ es convexa exactamente para todo $t\in C$ .
Por comodidad, describiré la construcción con una ligera variación en la parametrización, requiriendo que la curva satisfaga, para todo $t\in C$ , $f(t)=(0,t)$ (por tanto, en cualquier momento $t\in C$ toca el borde vertical derecho del cuadrado, a la altura $t$ ). El área será estrictamente creciente, por ejemplo con $\operatorname{Area}\big(f([0,t])\big)=\phi(t):=3t^2-2t^3$ para todos $t\in I$ (cualquier otro homeomorfismo $\phi$ de $[0,1]$ en sí mismo de tal forma que $\phi(t)=o(t)$ y $\phi(1-t)=o(t)$ como $t\to0$ también funciona). Por supuesto, si se empezara con $C\:':=\phi(C)$ entonces se encuentra una curva $f\circ \phi^{-1}$ parametrizado en "arco-área", como se indicó inicialmente.
Para empezar la construcción primero tenemos que fijar los subconjuntos $f([0,t])$ para todos $t\in C$ . A tal fin, obsérvese que existe una familia anidada de subconjuntos cerrados y convexos del cuadrado, $\{A_t\}_{t\in C}$ tal que $A_0:=\{(1,0)\}$ , $A_1:=I^2$ , $\operatorname{Area}(A_t)=\phi(t)$ para todos $t\in C$ y $\operatorname{diam}(A_ s \setminus A_r)=o(1)$ como $|s-r| \to0 $ (uniformemente para $r$ y $s$ en $C$ ).
En lugar de entrar en los detalles de la construcción de estos $A_t$ digamos que pueden realizarse, por ejemplo, como subgrafos de una familia de funciones cóncavas $\alpha_t:I\to ]-\infty,1]$ : $$A_t:=\{(x,y)\in I^2\, :\, \alpha_t(x)\ge y\}$$ donde $\alpha _ s\leq\alpha _t$ para $s\leq t$ y $\int_0^1\alpha^{+} _ t(x)dx=\phi(t)\, .$
Las gráficas de estas funciones aparecen como un bosque de árboles binarios que inclinan sus ramas hacia el borde vertical derecho, con hojas (posiblemente incontables) exactamente en el conjunto $\{1\}\times C$ . Desconectan el cuadrado en una familia contable de regiones abiertas, una por cada componente $J$ de $I\setminus C\, .$
La curva $f:I\to I^2$ se define como $f(t)=(0,t)$ como se ha dicho, para todos $t\in C$ . En cualquier intervalo abierto $J:=]r,s[$ que es un componente de $I\setminus C$ define $f_{|J}$ sea una curva tipo Peano que rellene el conjunto ${ A_s\setminus A_r }$ hasta su cierre, con puntos finales $f(s)=s$ y $f(r)=r$ como se ha dicho, y parametrizada de tal manera que $\operatorname{Area}(f[s,t])=\phi(t)-\phi(s)$ para todos $t\in J\, .$
Esto define una curva $f:I\to I^2$ con las propiedades indicadas. Obsérvese que la continuidad está garantizada por el requisito de que $\operatorname{diam}(A_t \setminus A_s)=o(1)$ como $|t-s| \to0 $ (uniformemente). Puesto que queremos los conjuntos $f([0,t])$ sea convexa en exactamente los puntos $t\in C$ es necesario un pequeño cuidado para evitar la creación de nuevos conjuntos convexos $f[0,t]$ para $t\in I\setminus C$ pero una pequeña reflexión muestra que esto no es un problema (por ejemplo, la curva original de Peano sí tiene esta propiedad).
