Constantes del teorema de Rolle aplicadas a polinomios

Question

El Teorema de Rolle establece que $f(1/2)=f(-1/2)+f'(x)$ tiene una raíz en el real abierto abierto $(-1/2,1/2)$ si $f$ es continua y diferenciable. ¿Cómo de grande puede ser el valor absoluto de dicha raíz $\xi$ ser si $f$ es un polinomio de grado $d$ ? (Elegimos $\xi$ para ser la raíz real de norma mínima en el caso de varias soluciones).

Algunos comentarios:

$\xi$ puede estar arbitrariamente cerca del límite si no hay ninguna condición sobre el grado.

$\xi$ es siempre $0$ en grado $2$ .

Tengo ejemplos (usando polinomios aleatorios) con $\xi=.28867...$ para $d=3$ (el valor correcto es quizás $1/(2\sqrt{3})$ dado por ejemplo con $f(x)=x^3$ ), y $\xi=.324...$ para $d=5$ .

Considerando para $f$ un polinomio complejo, la ecuación $f(1/2)=f(-1/2)+f'(x)$ parece tener siempre una solución compleja de norma a lo sumo 1/2. ¿Es esto cierto? En caso afirmativo, ¿funciona la constante real para polinomios reales de grado $d$ también funcionan para polinomios complejos de grado $d$ ? (No tengo ningún contraejemplo).

Una respuesta positiva para polinomios complejos implicaría la afirmación para enteros enteras (donde la raíz más pequeña podría estar en el límite del disco disco complejo de radio $1/2$ ).

Answer 1

Para polinomios reales $\xi$ puede ser $1/2 - O(1/d^2)$ pero no más cerca de $1/2$ que eso. El valor $1/\sqrt{12} = 0.288675\ldots$ es correcto para $d=3$ y también para $d=4$ ; para mayores $d=2n-1$ o $d=2n$ , el supremum se produce en la mitad de la raíz mayor del $n$ -enésimo polinomio de Legendre $P_n$ y no se alcanza porque en los puntos extremos $f$ también tiene puntos de inflexión que satisfacen la condición de Rolle, como en $x=0$ para el polinomio quíntico $f(x) = x^3-4x^5$ que muestra el supremum $\sqrt{3/20} = .387298\ldots$ . (La razón $n=2$ es diferente es que $P_2(x) = (3x^2-1)/2$ y de hecho $1/\sqrt{12}$ es la mitad de la raíz mayor $1\sqrt{3}$ pero no hay puntos de inflexión porque $P_2$ no tiene ceros en el interior de $[-1/\sqrt{3},+1/\sqrt{3}]$ . Para $n=1$ el polinomio de Legendre sólo desaparece en cero, que sabemos que debe ser un punto de Rolle cuando $f$ es cuadrática).

He aquí una Wolfram Alpha parcela para $d=11$ para lo cual $\xi = .4662\ldots$ :

     (fuente de la imagen)

Dado $n$ , dejemos que $p(x)=P_n(2x)$ de modo que $p$ es un grado- $n$ polinomio ortogonal en $[-1/2,+1/2]$ denotemos sus raíces por $x_i$ en orden creciente, $x_1 < x_2 < x_3 < \cdots < x_n$ con cada $x_i = -x_{n+1-i}$ por simetría. En particular $x_1 = -x_n$ . Para cualquier polinomio $f$ de grado $d \leq 2n$ , dejemos que $g(x) = f'(x) - cx$ donde $c = f(1/2) - f(-1/2)$ . Reclamo $g$ no puede ser positivo en $[x_1,x_n]$ . De hecho $\int_{-1/2}^{1/2} \phantom. g(x) \phantom. dx = 0$ pero por cuadratura gaussiana $\int_{-1/2}^{1/2} \phantom. g(x) \phantom. dx$ es una combinación lineal positiva de $g(x_i)$ - contradicción. Por otra parte, $g$ puede sea no negativo pero no idénticamente cero en $[x_1,x_n]$ lo que sucede si $$ g(x) = (ax+b) \phantom. p(x)^2 / (x_n^2-x^2) $$ para algunos $b>0$ y $a \in [-b/x_n,b/x_n]$ . (Tenga en cuenta que $a=0$ se ocupa de $d=2n-1$ .) De hecho, la misma fórmula de cuadratura gaussiana muestra que $g$ debe desaparecer en cada $x_i$ con raíces dobles, excepto posiblemente en $x_1$ y $x_n$ esto da $g(x) = (ax+b) \phantom. p(x)^2 / (x_n^2-x^2)$ y, a continuación, las desigualdades sobre $a,b$ se deduce de la no negatividad de $[x_1,x_n]$ . Por el contrario, si $g$ es de esa forma, entonces es efectivamente no negativa en $[x_1,x_n]$ y $$ \int_{-1/2}^{1/2} \phantom. g(x) \phantom. dx = \int_{-1/2}^{1/2} \phantom. p(x) \frac{(ax+b)\phantom. p(x)}{x_n^2-x^2} \phantom. dx = 0 $$ porque la integral es el producto interior sobre $[-1/2,+1/2]$ de $p$ con un polinomio de grado inferior a $n$ .

A continuación, podemos tomar $f_0(x)$ sea una integral indefinida de $g(x)$ que satisface $f_0(-1/2)=f_0(+1/2)$ y es estrictamente creciente en $[x_1,x_n]$ . Para cada $\epsilon>0$ podemos entonces perturbar $f_0$ para obtener un polinomio $f$ del mismo grado, aún tomando los mismos valores en $-1/2$ y $+1/2$ pero con una derivada estrictamente positiva en $[x_1+\epsilon,\phantom, x_n-\epsilon]$ . Por ejemplo, podemos tomar $f(x) = f_0(\theta x) + \delta\cdot x$ con $\theta$ ligeramente mayor que $1$ y $\delta>0$ elegido de forma que $f(-1/2)=f(+1/2)$ . Esto completa la prueba.

Answer 2

Resulta que hace poco necesité un límite similar a la segunda parte de tu pregunta (relativa a polinomios complejos).

Como ya he mencionado en un comentario anterior, no se puede tener un límite universal sobre la norma de una solución de $f(1/2)=f(-1/2)+f'(z)$ ya que hay polinomios en los que la solución más pequeña tiene norma lineal en el grado: tomando $f(z)=(1/2+z+\xi(1/2-z))^d$ donde $\xi=e^{2\pi i/d}$ es la primitiva $d$ raíz de la unidad, tenemos $f(1/2)=f(-1/2)=1$ pero la única raíz de $f'(z)=d(1-\xi)(1/2+z+\xi(1/2-z))^{d-1}$ es $(\xi+1)/2(\xi-1)$ que tiene un valor absoluto de $d/2\pi$ para grandes $d$ .

Por otro lado, también existe un límite superior lineal:

Proposición 1: Si $f$ es un polinomio complejo de grado $d$ entonces existe $z$ tal que $f(1/2)=f(-1/2)+f'(z)$ y $|z|<\frac1{2(\sqrt[d-1]2-1)}\le\frac{d-1}{\log 4}$ .

Se deduce aplicando la siguiente afirmación a $f(z)-(f(1/2)-f(-1/2))z$ :

Proposición 2: Sea $f$ sea un polinomio complejo de grado $d$ tal que $f'(z)$ no tiene raíces de norma menor que $R$ . Entonces $f$ es inyectiva en el disco cerrado $\{z:|z|\le\mu R\}$ donde $\mu=\sqrt[d-1]2-1\ge\frac{\log 2}{d-1}$ .

Esto se puede demostrar escribiendo

$$f(v)-f(u)=\int_u^vf'(z)\,dz=(v-u)\left(f'(0)+\int_0^1f'((1-t)u+tv)-f'(0)\,dt\right)$$

(donde $u\ne v$ , $|u|,|v|\le\mu R$ ) y utilizando el límite $|f'((1-t)u+tv)-f'(0)|< |f'(0)|$ que se deduce de

Lema: Si $g$ es un grado $d$ polinomio sin raíces de norma inferior a $R$ y $m>0$ entonces $|g(z)-g(0)|< ((1+m)^d-1)|g(0)|$ para todos $z$ tal que $|z|< mR$ .

Para demostrar el lema, escriba $g(z)=c\prod_{i=1}^d(z-\alpha_i)$ . Esto da

$$\frac{g(z)}{g(0)}=\prod_i\left(1-\frac z{\alpha_i}\right)=\sum_{I\subseteq\{1,\dots,d\}}\prod_{i\in I}\frac{-z}{\alpha_i},$$

de ahí

$$\left|\frac{g(z)}{g(0)}-1\right|\le\sum_{I\ne\varnothing}\prod_{i\in I}\frac{|z|}R< (1+m)^d-1,$$

utilizando la hipótesis $R\le|\alpha_i|$ .

---

EDIT: Como sospechaba, se trata de un resultado clásico, y el ejemplo con desplazamiento lineal $z^d$ alcanza el valor óptimo:

Teorema (Grace, Heawood): Si $f$ es un grado $d$ polinomio y $f(u)=f(v)=0$ , $u\ne v$ entonces su derivada $f'$ tiene una raíz $z$ en el disco $\left|z-\frac{u+v}2\right|\le\frac{|u-v|}2\cot\frac\pi d$ .

Corolario: Si $f$ es un grado $d$ polinomio tal que $f'$ no tiene ninguna raíz de norma menor que $R$ entonces $f$ es inyectiva en el disco $\{z:|z|< R\sin\frac\pi d\}$ .

Corolario: Si $f$ es un grado $d$ polinomio, existe $z$ tal que $f(1/2)=f(-1/2)+f'(z)$ y $|z|\le\frac12\cot\frac\pi d$ .

Se puede encontrar una demostración del teorema de Grace-Heawood en M. Marden, Geometría de los polinomios AMS, 1966.