¿Cuándo se produce el reventón de $CP^2$ en N puntos incrustados en $CP^4$ ?

Question

Escriba a $X_N$ por esta explosión. Coloque los puntos N en "posición general" según sea necesario. A continuación, $X_6$ incrusta en $CP^2$ como una superficie cúbica lisa. (Véase, por ejemplo, Griffiths y Harris.) Pero no hay otra $N$ (excepto $N=0$ ) para lo cual $X_N$ incrusta en $CP^3$ . (Prueba: La topología de la explosión no coincide con la de una superficie lisa de grado $d$ en $CP^3$ . (Gompf-Stipsisz p. 21.) Por otra parte, $X_N$ incrusta en $CP^5$ simplemente porque cualquier superficie algebraica lisa $X$ (Harris, `Algebraic Geometry, a first course', p. 193.)

Vergonzosamente, ni siquiera sé la respuesta para $N=1$ donde $X_1$ ¡es la 1ª superficie de Hirzebruch! (Apuesto a que se incrusta.)

Motivación: Esta pregunta comenzó en un intento de comprender mejor las 27 líneas de la cúbica y mi sorpresa inicial al ver cómo la construcción descrita en GH de $X_6$ se obtuvo una superficie lisa en $CP^3$ y cómo todas esas superficies surgen a través de esa construcción variando los 6 puntos. Espero que las respuestas me ayuden a entender los módulos de las ampliaciones a medida que muevo los N puntos sobre el plano, y me orienten como novato en superficies algebraicas.

Answer 1

Para $N=1$ la respuesta es sí: la incrustación en ${\mathbb P}^4$ viene dado por el sistema lineal de cónicas que pasa por el punto ampliado (la imagen tiene grado $d=3$ ). En $N=5$ el sistema de cúbicas a través de los 5 puntos da una incrustación ( $d=4$ ).

AÑADIDO: he aquí 2 ejemplos algo menos evidentes: Para $N=8$ se pueden tomar cuárticos con un punto doble asignado y 7 puntos de base simple ( $d=5$ ). En $N=10$ tomar los quínticos con 3 puntos dobles asignados y 7 puntos de base simple ( $d=6$ ; no he comprobado todos los detalles aquí, porque es muy aburrido, pero estoy seguro de que funciona).

En general, dar una respuesta satisfactoria a su pregunta parece muy difícil. Existe una igualdad numérica la llamada "fórmula del punto doble" (Hartshorne, "Algebraic geometry", p.434), que satisfacen todas las superficies lisas de ${\mathbb P}^4$ : $$d^2-10d-5HK+12\chi-2K^2=0,$$ donde $H$ es la sección del hiperplano, $d=H^2$ es el grado, $K$ es el divisor canónico y $\chi$ la característica de Euler de ${\mathcal O}_{X_N}$ . En nuestro caso, la fórmula es: $$d^2-10d-5HK+2N-6=0.$$ Además, existe un resultado de G. Ellingsrud y C. Peskine [Invent. Math. 95 (1989), no. 1, 1--11] que afirma que sólo un número finito de componentes del esquema de Hilbert de superficies lisas en ${\mathbb P}^4$ contienen racionales suaves Así que, en principio, debería ser posible clasificar todas las superficies racionales lisas en ${\mathbb P}^4$ . En la práctica, se sabe que el grado es $\le 76$ , [Cook, An improved bound for the degree of smooth surfaces in P4 not of general type. Compositio Math. 102 (1996)] y se conjetura que $d\le 15$ (ejemplos con $d=15$ existen). También hay trabajos de varios autores (Ranestad, Schreyer, Popescu y otros) que clasifican las superficies racionales lisas de ${\mathbb P}^4$ de grado $\le 11$ . En estos documentos puede encontrar ejemplos del tipo que busca. Por ejemplo, hay ejemplos con $d=10$ y $N=18$ .

Answer 2

Supongamos que tenemos una incrustación no degenerada $f:X\to \mathbb{P}^4$ . Sea $L = f^\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(1)$ y que $V \subset H^0(L)$ sea el (punto base libre) $5$ -serie lineal dimensional que da $f$ . Hay que tener en cuenta dos casos.

Caso 1: $V = H^0(L)$ está completo. Me temo que aquí el problema parece bastante difícil. Hay dos pasos esenciales.

En primer lugar, busque todos los haces de líneas $L$ con $h^0(L) = 5$ . Dados los puntos generales $p_1,\ldots,p_N$ y multiplicidades $m_1,\ldots,m_N$ esto equivale a determinar la dimensión de la serie de curvas de un grado dado $d$ con singularidades de multiplicidad $m_i$ en $p_i$ para cada $i$ . La conjetura Segre-Gimigliano-Harbourne-Hirschowitz proporciona una respuesta esperada, pero está muy abierta.

A continuación, para cada conjunto de líneas con $h^0(L) = 5$ necesitamos determinar cuándo la serie completa da una incrustación. Esta cuestión también ha recibido mucha atención (al menos en formulaciones más generales), pero al menos estas versiones más generales siguen siendo áreas activas de investigación. Una búsqueda en Google de amplitud de haces de líneas en expansiones arroja muchos resultados.

Potencialmente un argumento que trata de encontrar alguna obstrucción a la incrustación en $\mathbb{P}^4$ podría eludir este programa, pero al ser una codimensión $2$ subvariedad impone mucha menos estructura que ser una hipersuperficie.

Caso 2: $V\subset H^0(L)$ es una subserie propia. En este caso, elija una $6$ -serie dimensional $W$ con $V\subset W\subset H^0(L)$ . Entonces $W$ da una incrustación no degenerada de $X$ en $\mathbb{P}^5$ y la incrustación de $X$ en $\mathbb{P}^4$ es la composición de la incrustación en $\mathbb{P}^5$ con proyección desde un punto. Dado que $V$ no tiene punto base, esta proyección se realiza desde un punto situado fuera de la superficie incrustada en $\mathbb{P}^5$ . Dado que la proyección debe ser un isomorfismo entre las dos imágenes de $X$ la variedad secante de la superficie en $\mathbb{P}^5$ debe ser una subvariedad propia de $\mathbb{P}^5$ . Pero Severi demostró que la única superficie lisa no degenerada en $\mathbb{P}^5$ con variedad secante deficiente es la veronesa, isomorfa a $\mathbb{P}^2$ incrustada por la serie completa de cónicas. Por lo tanto, este caso no se plantea nunca.