Convergencia de la iteración QR

Question

Suponiendo que $\mathbf x_1$ y $\mathbf x_2$ son vectores propios de la matriz $\mathbf A \in \mathbb{R}^{2\times 2}$ hay $$\left(\mathbf I-\mathbf x_1\mathbf x_1^\top\right)\mathbf A\left(\mathbf I-\mathbf x_1\mathbf x_1^\top\right)\mathbf x_2 = \lambda_2 \left(\mathbf I-\mathbf x_1\mathbf x_1^\top\right)\mathbf x_2.$$

(Darve "Álgebra lineal numérica con Julia 2021", pp 159)

¿Por qué $\left(\mathbf I-\mathbf x_1\mathbf x_1^\top\right)\mathbf A = \lambda_2?$

Answer 1

Suponemos que A es una matriz simétrica en su problema.

Si $\lambda_1$ y $\lambda_2$ son distintos, entonces sus vectores propios son ortogonales. De lo contrario, si los elija $x_1,x_2$ para ser ortogonales. así que $x_1^T x_2 =0$ .

En outre $Ax_2 = \lambda_2 x_2$ asumiendo $\lambda_i$ es el valor propio del vector propio correspondiente $x_i$