teoremas de algebrización

Question

Una de las propiedades fundamentales que distingue a los esquemas entre todos los functores contravariantes $\mathrm{Sch}^\circ \rightarrow \mathrm{Sets}$ es la algebrización: un functor $F$ satisface la algebrización si, siempre que $S$ es el espectro de un anillo local noetheriano completo y $S_n$ son las vecindades infinitesimales del punto central en $S$ ,

$F(S) = \varprojlim_n F(S_n)$ .

Sólo conozco dos resultados básicos de algebrización: (1) el teorema de existencia de Grothendieck da algebrización cuando $F$ es la pila de tramas coherentes en un esquema propio, y (2) SGA3.IX.7.1 da algebrización para mapas de tori en esquemas de grupos afines.

A partir de ellos es posible deducir la algebrización para muchos otros functores. Mi pregunta es: ¿existen otros resultados básicos de algebrización (que no se reduzcan finalmente a uno de estos)?

Answer 1

Existen teoremas de algebrización en Geometría Diofantina de naturaleza aparentemente diferente. De hecho, Jean-Benoît Bost ha explicado cómo pensar en ellos como variantes del teorema de existencia de Grothendieck sobre una compactificación de $\mathop{\rm Spec} (\mathbf Z)$ y ha desarrollado este punto de vista en numerosos trabajos.

Algunos ejemplos son:

• Teoremas de Chudnovsky, André, Bost, según los cuales algunos subgrupos formales de variedades abelianas definidas sobre campos de números son algebraicos. Esto funciona más generalmente para hojas de foliaciones apropiadas en variedades algebraicas. Véase el artículo de Bost, Hojas algebraicas de foliaciones algebraicas sobre campos numéricos . Publications Mathématiques de l'IHÉS, 93 (2001), p. 161-221. Véase también mi charla Bourbaki sobre el tema, Teoremas algebraicos en geometría diofántica. Séminaire Bourbaki, 43 (2000-2001), Exposé No. 886.

• Un teorema de tipo Lefschetz, también debido a Bost, que prueba que los grupos fundamentales de algunas superficies algebraicas son triviales (provienen de la base), véase Teoría del potencial y teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Ser. 4, 32 nº 2 (1999), p. 241-312

• El teorema de Borel-Dwork-Polya-Bertrandias que afirma que algunas series de potencias con coeficientes racionales son racionales también es de este tipo, véase mi artículo con Bost, Curvas analíticas en variedades algebraicas sobre campos numéricos . En: Álgebra, aritmética y geometría: en honor de Yu. I. Manin. Vol. I, 69-124, Progr. Math., 269, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. (http://arxiv.org/abs/math/0702593)

Answer 2

El reciente resultado de efectividad de Brown-Geraschenko ( arXiv:1208.2882 ) para gavillas coherentes sobre pilas con la propiedad de resolución y que admiten buenos espacios de moduli no se reduce a los habituales. Sin embargo, la estrategia (resolver por haces vectoriales algebraizables) es algo similar a la del caso proyectivo (resolver por haces lineales amplios algebraizables).

Otro resultado no estándar, creo, es la algebraización de esquemas formales propios que admiten una familia amplia de haces de líneas (Brenner-Schröer, Thm 6.1) + algunas condiciones extra.

Answer 3

Bhargav Bhatt ha demostrado recientemente un notable teorema de algebraización:

http://arxiv.org/abs/1404.7483

Implica que los mapas formales en esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados pueden ser algebraizados. Hall y Rydh han demostrado otra versión de este resultado (con hipótesis ligeramente distintas):

http://arxiv.org/abs/1405.7680