Sea $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$ . Demuestre que el campo de división de $f$ en $\mathbb{Q}$ tiene grado 1, 2, 3 ó 6 sobre $\mathbb{Q}$ .

Question

PREGUNTA: Sea $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$ . Demuestre que el campo de división de $f$ en $\mathbb{Q}$ tiene grado 1, 2, 3 ó 6 sobre $\mathbb{Q}$ .

El profesor nos dio esta pista, pero sigo sin entender. Necesito resolver esto paso a paso. Usando sus consejos.

SUGERENCIA: La mayor dificultad sería demostrar que no puede ser mayor que 6. Entonces, basta con elegir algunos valores para $a, b$ y $c$ . Trate de encontrar en la parte de Galois que la extensión tiene grado $\leq n!$ . Necesitas encontrar polinomios de esa forma que tengan campos de división de grados $1, 2, 3$ y $6$ . Y luego demostrar que no puede ser más grande que eso. No puede ser mayor que 6 porque esto sucede en el peor de los casos ... Tiene una raíz real que tiene un grado $\leq3$ (siempre existe ya que el polinomio tiene un grado impar, utilizando el teorema del valor intermedio) y uno complejo (que también puede ser real) de grado $\leq 2$ . Entonces el grado de extensión $\leq 6$ . Utilizamos el teorema del valor intermedio porque los polinomios de grado impar tienen una raíz real.

Le agradezco mucho su ayuda si se toma un tiempo para ayudarme.

Answer 1

Sea $L$ sea el campo de división de $f$ en $\mathbb{Q}$ . Desde $\mathbb{Q}$ tiene característica cero, la extensión es separable, y es un campo de división por lo que es normal. Por lo tanto $L/\mathbb{Q}$ es una extensión de Galois.

Sabemos que el grupo de Galois $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ actúa fielmente sobre las raíces de $f$ en $L$ . Estas raíces son tres $\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ digamos, así que $G$ puede verse como un grupo de permutaciones de $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ lo que lo convierte en un subgrupo del grupo simétrico $S_3$ . Desde $S_3$ tiene orden $6$ se deduce que el orden de $G$ divide $6$ por lo que es $1,2,3$ o $6$ .

Es un resultado estándar de la teoría de Galois que el grado de una extensión de Galois es igual al orden de su grupo de Galois, por lo que $[L : \mathbb{Q}] = \lvert G \rvert$ es $1, 2, 3$ o $6$ .

Por último, el comentario de Piquito demuestra que cada una de estas posibilidades se da realmente.

Answer 2

Utilizamos un teorema fundamental de la teoría de Galois, según el cual el grado de una extensión de Galois es igual al orden del grupo de Galois de dicha extensión. Obsérvese que las extensiones obtenidas sumando raíces de un polinomio con coeficientes en el campo son automáticamente extensiones de Galois.

La lógica es que como $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ es cúbico, su grupo de Galois (es decir, el grupo de Galois de un campo de división) será un subgrupo de $S_3$ que tiene orden $6$ .

Más explícitamente, dejemos que $x_1, x_2, x_3$ sean las raíces (complejas) de $f$ . Entonces ciertamente $K=\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$ es un campo de división. El grupo de Galois $G$ es el conjunto de aquellos automorfismos de $K$ que arreglan $\mathbb{Q}$ y, por tanto, están determinados por cómo actúan sobre las raíces. Sin embargo, como cualquier automorfismo fija $f$ la imagen de una raíz bajo cualquier automorfismo sigue siendo una raíz, por lo que $G$ permuta las raíces y, por tanto $G$ es un subgrupo de $S_3$ .

Ahora la segunda parte es encontrar polinomios que tengan grupos de Galois $1$ , $C_2$ , $C_3 = A_3$ y $S_3$ .

$1$ es bastante fácil: basta con tomar el producto de tres polinomios lineales como $(x-1)(x-2)(x-3)$ .

Para $C_2$ necesita un polinomio cuadrático con raíces no racionales, por ejemplo $(x-1)(x^2+1)$ .

Para $S_3$ puede repetir la idea en $C_2$ pero esta vez dando una raíz no racional a la parte lineal, por ejemplo $x^3 -2$ .

Obtener un polinomio con $C_3$ es quizás la más difícil, pero con un poco de ensayo-error o algún conocimiento adicional sobre un objeto llamado "el discriminante" $x^3 -3x+1$ es un ejemplo.