Integral de función medible

Question

Supongamos que $E\subset \mathbb{R}^d$ es un conjunto medible con medida finita $m(E) < \infty$ . Sea $f_n: E \to \mathbb{R}$ sea una secuencia de funciones medibles no negativas tales que $f_n(x) \to f(x)$ casi en todas partes en $E$ . Demostrar que $$\lim\limits_{n \to \infty}\int_E \frac{f_n(x)}{1+f_n(x)}dx = \int_E \frac{f(x)}{1+f(x)}dx.$$ Estoy intentando demostrar esta igualdad como preparación para un examen de análisis real. Agradecería su ayuda para resolver este problema. Gracias.

Answer 1

Pista: $$ \frac{f_n(x)}{1+f_n(x)} \leq 1, $$ y puesto que $m(E)<\infty$ podemos pasar al límite (¿por qué?)