Proceso de Poisson llegadas

Question

Es un problema de deberes. Entre las 10 de la mañana y las 6 de la tarde llegan visitantes a la galería Tate Modern según un proceso de Poisson a razón de 6 por minuto. Determine la probabilidad de que lleguen 10 visitantes entre las 13:00 y las 13:02, dado que entre las 12:00 y las 14:00 llegan 800 visitantes.

Mi intento:

Sé que las 10 llegadas (en orden permutado) son idénticas e independientes, $S_1,\ldots, S_{10} \sim \text{Uniform(0,120)}$

así que $P(\text{Arrival between 1:00 PM and 1:02 PM}) = \displaystyle\int_{60}^{62} \dfrac{1}{120} dt = \dfrac{2}{120}$

Así que mi conjetura es que

$$P(\text{10 arrive between 1:00 PM and 1:02 PM}|N(120)=800) = \displaystyle{800 \choose 10}\left(\dfrac{2}{120}\right)^{10}\left(1-\dfrac{2}{120}\right)^{790}$$

Jaja, creo que ya me lo he imaginado mientras escribía la pregunta. ¿Ustedes creen que esto se ve bien?

> dbinom(10, size=800, prob=1/60)
[1] 0.0791953

Answer 1

El enlace que ha facilitado Mathias es muy útil. Utilice $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ donde A es el caso de que lleguen 10 personas en los minutos 61 ó 62 y B es el caso de que lleguen 800 personas en los primeros 120 minutos.

$P(A \cap B) = P(A)*P(B|A)$ . El marginal $P(A)$ es fácil; $P(X=10; \lambda=2*6)$ . $P(B|A)$ es la misma que la probabilidad de que lleguen 790 personas en los 118 minutos restantes, ya que nos dan 10 llegadas en los minutos 61 ó 62. Esto es simplemente $P(X=790; \lambda = 118*6)$ . $P(B)$ es simplemente $P(X=800; \lambda = 120*6)$

Luego puedes combinarlas con la primera ecuación.

Para vencer a un caballo muerto, aquí está la solución explícita trabajado en R:

(A = dpois(x=10, lambda = 2*6))
[1] 0.1048373

(BgivenA = dpois(x=790, lambda = 118*6))
[1] 0.0001462412

(B = dpois(x=800, lambda = 120*6))
[1] 0.0001935913

(AgivenB = A*BgivenA/B)
[1] 0.0791953

Answer 2

No entiendo muy bien por qué has trabajado con una integral cuando estás tratando con una variable discreta. De todos modos, este enlace debería ayudar:

https://math.stackexchange.com/questions/328230/poisson-process-conditional-probability-question