$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que toma cada valor en $\mathbb{R}$ dos veces

Question

¿Existe una función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que toma cada valor en $\mathbb{R}$ exactamente dos veces?

Answer 1

Supongamos $f(a)=f(b)=0$. A continuación, en cada uno de $(-\infty,a)$, $(a,b)$, $(b,\infty)$ la función de $f$ es positivo o negativo por el teorema del valor intermedio. Por la continuidad de $f$ tiene un máximo en $[a,b]$ que es estrictamente positivo o un min que es estrictamente negativo. WLOG decir que tiene un máximo que es positivo. La izquierda y la derecha intervalos deben tener signos opuestos o $f$ no puede ser surjective. Por lo que dicen WLOG el lado izquierdo es positivo. A continuación, algunos (muy pequeño) valor positivo se logra tres veces, una vez en el intervalo de izquierda y dos veces en el centro del intervalo.

Answer 2

Supongamos que en aras de la contradicción que tal función existe. Deje $a,b$ dos números reales tales que a$f(a)=f(b)$$a<b$. A continuación, cualquiera de $f(x)>f(a)$ todos los $x\in (a,b)$ o $f(x)<f(a)$ todos los $x\in (a,b)$. Si no eran tales el caso, entonces tenemos $c,d\in (a,b)$ tal que $f(c)\le f(a)\le f(d)$, tomando el valor de $f(a)$ una tercera vez. Podemos suponer que la $f(x)<f(a)$ todos los $x\in (a,b)$. Ahora elegimos algunos $x_0\in (a,b)$ (whatever works), lo $f$ toma todos los valores entre a $f(a)=f(b)$ $f(x_0)$ dos veces en $[a,x_0]$$[x_0,b]$.

Para $x<a$ o $x>b$ no podemos tener a $f(x)<f(a)$ porque esto implicaría que $f$ toma estos valores, sin embargo, un tercer tiempo (si fuera el caso de algunos $x$ tal que $f(x)<f(a)$ y asumir por la concreción $x<a$, por lo que todos los valores entre a $y=\max\{f(x),f(x_0)\}$ $f(a)=f(b)$ están tomando por $f$ tres veces, ya que $f(x)\le y<f(a)$, $f(x_0)\le y < f(a)$ y $f(x_0)\le y < f(b)$ en $[x,a]$,$[a,x_0]$ y $[x_0,b]$). Por tanto, para $x<a$ $x>b$ debemos tener $f(x)> f(a)$.

Así, por lo que hemos visto $f$ está acotado abajo por la mínima en $[a,b]$ y, a continuación, $f$ no tomar cada una de las $x\in\mathbb{R}$, en particular, no tomar cualquier valor menor que el valor mínimo de $f$$[a,b]$, una contradicción.

Answer 3

$\mathbb{R}$ no tiene ningún trivial conectadas con el espacio, incluyendo un $k$sábana que cubre el mapa de sí misma para cualquier finito $k > 1$, porque es simplemente conectado.