Encontrar el máximo y el mínimo de $f(x)=x-2\cos(x)$

Question

Encontrar el máximo y el mínimo de $f(x)=x-2\cos(x)$

No sé cómo proceder con este problema. La primera derivada es $1+2\sin(x)$ . Establecer este igual $0$ se obtiene $x = \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi$ y $x = \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi$ . Sé que el valor máximo de $1+2\sin(x)=2$ y mínimo $=-2$

¿Qué debo hacer a continuación para determinar si estos valores son mínimos o máximos locales? El gráfico de esta función en Desmos muestra que es monotónicamente creciente, pero ¿cómo puedo demostrarlo mediante la prueba de la primera derivada?

Answer 1

Has encontrado correctamente los puntos críticos, es decir, los puntos en los que la primera derivada es igual a cero. Para determinar los extremos relativos, tenemos dos opciones. Podemos aplicar la prueba de la primera derivada o la prueba de la segunda derivada.

Primera prueba derivada. Sea $f$ sea una función continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ excepto posiblemente en un punto $c$ .
(a) Si $f'(x) > 0$ para todos $x < c$ y $f'(x) < 0$ para todos $x > c$ entonces $f$ tiene un máximo relativo en $c$ .
(b) Si $f'(x) < 0$ para todos $x < c$ y $f'(x) > 0$ para todos $x > c$ entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $c$ .

Segunda prueba derivada. Si $f$ tiene un punto crítico $c$ y $f''$ existe en un intervalo abierto $(a, b)$ y
(a) si $f''$ es negativo en $(a, b)$ entonces $f$ tiene un máximo relativo en $c$ ;
(b) si $f''$ es positivo en $(a, b)$ entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $c$ .

En este caso, es más fácil aplicar la Segunda Prueba Derivada. Tenemos \begin{align*} f(x) & = x - 2\cos x\\ f'(x) & = 1 + 2\sin x\\ f''(x) & = 2\cos x \end{align*} Como usted ha determinado, los puntos críticos son \begin{align*} x & = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\\ x & = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{align*} En los puntos $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ que se encuentran en el tercer cuadrante, $f''(x) = \cos x < 0$ por lo que la prueba de la segunda derivada nos dice que estos puntos son máximos relativos. En los puntos $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ que se encuentran en el cuarto cuadrante, $f''(x) = \cos x > 0$ por lo que la prueba de la segunda derivada nos dice que estos puntos son mínimos relativos.

Obtenemos el mismo resultado si aplicamos la prueba de la primera derivada. Como la función seno decrece desde $0$ a $-1$ en el tercer cuadrante, la primera derivada $f'(x) = 1 + 2\sin x$ cambia de positivo a negativo en los puntos $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ por lo que la prueba de la primera derivada nos dice que estos puntos son máximos relativos. Como la función seno aumenta desde $-1$ a $0$ en el cuarto cuadrante, la primera derivada $f'(x) = 1 + 2\sin x$ cambia de negativo a positivo en los puntos $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ por lo que la prueba de la primera derivada nos dice que estos puntos son mínimos relativos.