Suma de fracciones.

Question

Sean $a_1 < a_2 enteros positivos tales que$\sum_{i=1}^{4} \frac {1}{ a_i}$\=$ 11/6$. Entonces$a_4-a_2=?$

He intentado encontrar los $a_i$'s pero no pude.

¿Existe una forma general de resolver tales ecuaciones?

Answer 1

Ten en cuenta que si $2\leq a_1 entonces$$\frac{77}{60}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\geq \sum_{i=1}^{4} \frac {1}{ a_i}=\frac{11}{6}$$lo cual es una contradicción. Por lo tanto$a_1=1$.

Ahora nos queda $2\leq a_2 tal que$$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{5}{6}.$$

De manera similar, si $3\leq a_2 entonces$$\frac{47}{60}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\geq \frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{5}{6}.$$lo cual es una contradicción. Por lo tanto$a_2=2$.

Luego debemos resolver $$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{1}{3}$$ con $3\leq a_3. Con$a_3=3$y$a_3\geq 6$nuevamente tenemos una contradicción, por lo que$a_3$puede ser$4$o$5$.

¿Puedes continuar a partir de aquí?