Sean $a_1 < a_2 enteros positivos tales que $\sum_{i=1}^{4} \frac {1}{ a_i}$\=$ 11/6$. Entonces $a_4-a_2=?$
He intentado encontrar los $a_i$'s pero no pude.
¿Existe una forma general de resolver tales ecuaciones?
Respuesta
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Ten en cuenta que si $2\leq a_1 entonces $$\frac{77}{60}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\geq \sum_{i=1}^{4} \frac {1}{ a_i}=\frac{11}{6}$$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto $a_1=1$.
Ahora nos queda $2\leq a_2 tal que $$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{5}{6}.$$
De manera similar, si $3\leq a_2 entonces $$\frac{47}{60}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\geq \frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{5}{6}.$$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto $a_2=2$.
Luego debemos resolver $$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{1}{3}$$ con $3\leq a_3. Con $a_3=3$ y $a_3\geq 6$ nuevamente tenemos una contradicción, por lo que $a_3$ puede ser $4$ o $5$.
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