Demuestra que existe un cubo perfecto entre n y 3n para cualquier número entero n≥10

Question

Estaba resolviendo uno de los problemas de teoría de números de los desafíos de la Olimpiada Matemática, Y el problema dice así :

Demostrar que existe un cubo perfecto entre $n$ y $3n$ para cualquier número entero $n\geq 10$ .

Y experimentando descubrí que si $a^3$ mentiras en blanco y negro, $n$ y $3n$ ( $n19$ ) también se encuentra entre $m$ y $3m$ donde $m<a^3$ ; Por lo tanto si la afirmación a demostrar es cierta entonces tomando $m=a^3$ implica b/w $m$ y $3m$ allí yace $(a+1)^3$ es decir, $(a+1)^3$ mentiras b/w $a^3$ y $3a^3$ , Por lo tanto para demostrar esto necesitamos demostrar una desigualdad equivalente es decir,

$n^3 <(n+1)^3 < 3n^3$ para cualquier número entero $n\geq10$

Answer 1

Supongamos $n < k^3 < 3n$

Esto es válido para $n=10, k = 3$ .

Ahora, por construcción, sabemos que hay un cubo en $k^3 - 1 < k^3 < 3k^3 - 3$ Así que estamos cubiertos para todos $n$ de $n$ a $k^3 - 1$ .

Ahora sólo tenemos que demostrar que $k^3 < (k+1)^3 < 3k^3$

Obviamente $k^3 < (k+1)^3$ y la segunda desigualdad es cierta para $k \ge 3$

Y podemos seguir así para siempre.

Answer 2

Me gustaría demostrar la afirmación utilizando la contradicción suponiendo, por el contrario que hay existe un número natural $n \geq 10$ tal que no haya ningún cubo perfecto situado entre $n$ y $3n$ . Entonces para cualquier número natural $k$ ,

$$ k^{3}<n<3 n<(k+1)^{3},$$ lo que implica que para todos número natural $k$ ,

$$(k+1)^{3}-k^3>2n \Leftrightarrow 3k^2+3k+(1-2n)>0 \tag*{(*)} $$

Utilizando el hecho de que $$\Delta_{(*)}<0 ,$$ tenemos $$ 9<12(1-2 n)\Leftrightarrow n<\frac{1}{8} , $$

que contradice a la $n\geq 10$ y demostrar así la afirmación.

Más concretamente, la afirmación es cierta para cualquier $n\in N \backslash\{1,2,8,9\}.$