Encuentre $\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j \partial x_k}$ para la función implícita $f$

Question

Cómo encontrar una fórmula para la segunda derivada parcial de una función implícita

$\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j \partial x_k}$

¿No ha encontrado ninguna referencia al respecto?

Answer 1

¿Quiere decir que tiene (me especializo a $i=n+1$ ) $$F(x_1,x_2,\dots,x_n,f_{n+1}(x_1,x_2,\dots,x_n))=0$$ y quisiera expresar las derivadas parciales de $f_{n+1}$ en términos de los de $F$ ?

Si es así, escribamos $f_{n+1}=f$ para simplificar.

Por la Regla de la Cadena tenemos ahora al diferenciar c.r.t. $x_j$ que $$F_j+F_{n+1}f_j=0$$ que expresa cada $f_j$ en términos de los parciales de $F$ .

Ahora diferencie esto con respecto a $x_k$ utilizando la regla de la cadena (y la regla del producto) para obtener $$F_{jk}+F_{j,n+1}f_k+F_{n+1,k}f_j+F_{n+1, n+1} f_j f_k +F_{n+1}f_{jk}=0.$$

Ahora es tedioso álgebra para sustituir a la $f_j$ y extraer una expresión para $f_{jk}$ .