La probabilidad condicional de la variable continua

Question

Supongamos que la variable aleatoria $U$ sigue un continuo distribución Uniforme con parámetros 0 y 10 (es decir,$U \sim \rm{U}(0,10)$ )

Ahora vamos a denotar Un caso que $U$ = 5 y B el evento de que $U$ es igual a $5$ o 6. De acuerdo a mi entendimiento, ambos eventos tienen probabilidad cero a ocurrir.

Ahora, si tenemos en cuenta para calcular $P(A|B)$ , no podemos usar el condicional de la ley de $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$, debido a $P(B)$ es igual a cero. Sin embargo, mi intuición me dice que $P(A|B) = 1/2$.

Answer 1

"El concepto de probabilidad condicional con respecto a un aislado de hipótesis cuya probabilidad es igual a 0, es inadmisible". A. Prueba De Kolmogorov

Para variables aleatorias continuas, $X$ $Y$ decir, distribuciones condicionales son definidos por la propiedad de que recuperar el original de la probabilidad de medida, es decir, para todos los conjuntos medibles $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$, $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$,$$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$$This implies that the conditional density is defined arbitrarily on sets of measure zero or, on other words, that the conditional density $p_{X, Y}(x|y)$ is defined almost everywhere. Since the set $\{5,6\}$ is of measure zero against the Lebesgue measure, this means that you can define both $p(5)$ and $p(6)$ in absolutely arbitrary manners and hence that the probability $$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$$puede tomar cualquier valor.

Esto no significa que usted no puede definir un condicional densidad mediante la fórmula de relación $$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$$as in the bivariate normal case but simply that the density is only defined almost everywhere for both $x$ and $$ y.

"Muchos muy fútiles discusiones llevadas a cabo - entre otra manera competente probabilists - sobre cuál de estos resultados es 'correcta'." E. T. Jaynes

El hecho de que la limitación de argumento (al $\epsilon$ va a cero) en la respuesta anterior, parece dar un natural e intuitiva respuesta está relacionada con la Borel de la paradoja. La elección de la parametrisation en el límite de los asuntos, como se muestra en el siguiente ejemplo voy a usar en mis clases de pregrado.

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Tomar el normal bivariante $$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$$ What is the conditional density of $X$ given that $X=Y$?

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Si uno comienza a partir de la articulación de la densidad de $\varphi(x)\varphi(y)$, el "intuitivo" la respuesta es [proporcional a] $\varphi(x)^2$. Este puede ser obtenido considerando el cambio de variable $$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$$ where $T=Y-X$ has the density $\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$. Hence $$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$$ and $$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$$ However, if one considers instead the change of variable $$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$$ the marginal density of $R=Y/X$ is the Cauchy density $\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$ and the conditional density of $X$ given $R$ is $$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$$ Therefore, $$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$$ Y aquí se encuentra la "paradoja": los acontecimientos $R=1$ $T=0$ son los mismos que $X=Y$, pero que conducen a diferentes densidades condicionales en $X$.

Answer 2

He aquí una polémica respuesta:

Xi'an es justo que no se puede en la condición de eventos con probabilidad cero. Sin embargo, Yair es también que una vez que usted decida sobre un limitante del proceso, se puede evaluar la probabilidad. El problema es que hay muchos limitando los procesos que llegan a la deseada condición.

Creo que el principio de la indiferencia a veces puede resolver tales elecciones. Se argumenta que el resultado no debe ser afectado por una arbitraria de intercambio de etiquetas. en su caso, es decir, cambiar el intervalo para que sea uniforme en $(1, 11)$ y los puntos 5 y 6 han sido cambiados. Voltear cambia de respuesta $p$$1-p$. Así que si usted hubiera escogido otra limitación de proceso para uno que el otro, entonces por un cambio arbitrario de las etiquetas (en este caso, el cambio positivo infinito al infinito negativo) conseguido un resultado diferente. Eso no debería ocurrir de acuerdo con el principio de indiferencia. Por lo tanto, la respuesta es de 0,5 como lo has adivinado.

Tenga en cuenta que muchos de los estadísticos de no aceptar el principio de la indiferencia. Me gusta porque refleja mis intuiciones. Aunque no siempre estoy seguro de cómo aplicarlo, tal vez en 50 años va a ser más convencional?

Answer 3

Sí, se puede! Usted puede en la condición de eventos de probabilidad cero! Las matemáticas se complica - necesitas algo de teoría de la medida, pero usted puede hacerlo. En los casos más sencillos como este me buscaría la intuición mediante la definición de $A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$$B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$. Hacer todo lo que ahora, como usted hizo antes y tome $\epsilon \to 0$.

Permítanme subrayar una vez más (y otra vez) que el método anterior se utiliza para la intuición. Acondicionado en los eventos de probabilidad cero se hace muy a menudo, sin pensarlo mucho. El mejor ejemplo que se me ocurre es si $(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ es un bivariante de gauss. A menudo se considera que la densidad de $X_1$ (decir) $X_2 = 0$, que es un evento de medida cero. Esto está bien fundamentado en la teoría, pero no es en absoluto trivial. Con respecto a @Xi an la cita de la prueba de Kolmogorov - sólo puedo citar Varadhan: "Uno de nuestros objetivos es buscar una definición que tiene sentido cuando se $P(\xi = a) = 0$" (la Teoría de la Probabilidad, Courant notas de la conferencia, página 74).

Así que, sí, usted puede dar sentido a acondicionado en eventos de medida cero.