Intersección de los núcleos de los mapas de localización

Question

Sea $M$ sea un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano $R$ . Necesito demostrar que para un subconjunto cerrado multiplicativamente $U\subset R$ , $$\bigcap_{P\in \operatorname{Ass}(M)\\ P\cap U=\emptyset}\ker(M\to M_P)=\ker(M\to U^{-1}M)$$ y que cualquiera de las dos expresiones sea igual a $\{m\in M:I^nm=0 \text{ for } n>>0\}$ para algún ideal $I\subset R$ .

1) Supongamos $x\in\ker(M\to U^{-1}M) $ . Entonces $ux=0$ en $R$ para algunos $u\in U$ . Para cualquier ideal primo $P$ no cumple $U$ la imagen $x/1$ de $x$ en $M_P$ es cero porque $ux=0$ y $u\in R-P$ . Así $x\in \bigcap_{P\in \operatorname{Ass}(M)\\ P\cap U=\emptyset}\ker(M\to M_P)$ .

2) A continuación $x\in \bigcap_{P\in \operatorname{Ass}(M)\\ P\cap U=\emptyset}\ker(M\to M_P)$ . Entonces Para cada $P\in \operatorname{Ass}M)$ con $P\cap U=\emptyset$ existe $s_P\in R-P$ tal que $s_Px=0$ en $R$ . Para demostrar que $x\in\ker(M\to U^{-1}M) $ Necesito encontrar $u\in U$ tal que $ux=0$ . Cómo cocinar un $u$ (del $s_P$ Supongo.)

3) Aquí tampoco estoy seguro de cuál debería ser el ideal.

Answer 1

$\newcommand\Ass{\operatorname{Ass}}\newcommand\inv{^{-1}}\newcommand\ann{\operatorname{ann}}$ Recordemos que $\Ass M[U\inv]=\{P\in\Ass M : P\cap U =\varnothing\}$ . Véase Pilas .

Parte 2

Para demostrar que $$\bigcap_{P\in \Ass M[U\inv]} \ker M\to M_P\subseteq \ker M\to M[U\inv],$$ deje $m\in \ker M\to M_P$ para todos $P\in\Ass M[U\inv]$ . Así $\ann m \not \subseteq P$ para cualquier $P\in \Ass M[U\inv]$ por lo que, al evitar los primos, podemos elegir $r\in R$ con $rm=0$ pero $r\not\in P$ para cualquier $P$ asociado a $M[U\inv]$ . Así $r$ es un no-zerodivisor en $M[U\inv]$ lo que implica que $rm=0$ en $M$ (y por tanto en $M[U\inv]$ ) que $m=0$ en $M[U\inv]$ según se desee.

Parte 3

Estoy un poco confundido sobre lo que pide la parte 3. ¿Está diciendo que existe algún ideal $I\subseteq R$ tal que $m\in\ker M\to M[U\inv]$ si y sólo si existe $n$ tal que $I^nm=0$ ? Si es así, no tengo ninguna buena idea en este momento, pero es un poco tarde aquí.