Infinitos triples pitagóricos pregunta sobre $4xy$

Question

Entiendo que En cualquier triple pitagórico primitivo, un cateto es impar, un cateto es par y la hipotenusa es impar

Ahora resulta que realmente existe un método para generar infinitos triples pitagóricos de forma sencilla. Usemos álgebra simple aquí: \begin{align*} (x+y)^{2}&=x^{2}+y^{2}+2xy\tag{a.1}\\ (x-y)^{2}&=x^{2}+y^{2}-2xy\tag{a.2} \end{align*} La diferencia entre (a.1) y (a.2) es $4xy$ . Así que ahora tenemos una relación que se parece casi a un triple pitagórico, a saber:

Un cuadrado, es decir, $(x+y)^{2}$ es igual a otro cuadrado, es decir $(x-y)^{2}$ además digamos algo que nos gustaría que fuera un cuadrado principalmente $4xy$ .

¿Cómo podemos garantizar que $4xy$ ¿es cuadrado? Podemos elegir $x$ y $y$ para ser cuadrados, así que aquí es donde estoy absolutamente desconcertado...

¿Cómo relaciono esto con el lema?

Sea $(a,b,c)$ sea un triple pitagórico primitivo donde $a$ es el número par, entonces $\tfrac{c+b}{2} $ y $\tfrac{c-b}{2}$ son cuadrados perfectos digamos $s^{2}$ y $t^{2}$ respectivamente y $s$ y $t$ son relativamente primos .

Sólo quiero que alguien me guíe puedo esperar averiguar el resto ...

Answer 1

Hay muchas formas de calcular (o construir un algoritmo) triples pitagóricos, por ejemplo, aquí hay una bonito .

Ahora, para su pregunta, no he comprobado si su caracterización es correcta porque toda su pregunta trata de $4xy$ como un cuadrado (creo que este es lo que querías decir). Deje que $t\in\Bbb{Z}$ podemos descomponer $t$ en multiplicación de primos (el teorema fundamental de la aritmética), digamos $t=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot ...\cdot p_n^{e_n}$ , $p_i\neq p_j$ para $i\neq j$ .

Tal $t$ es un cuadrado si y sólo si para todo $i\in\{1,2,..,n\}$ , $e_i$ es par.

Utilizando esta caracterización, obtenemos que $4xy$ es un cuadrado si y sólo si $xy$ es un cuadrado. Escribe $x$ y $y$ como $$x=q_1^{f_1}\cdot q_2^{f_2}\cdot ...\cdot q_m^{f_m}$$ $$y=l_1^{g_1}\cdot l_2^{g_2}\cdot ...\cdot l_k^{g_k}$$ para $q_i, l_i$ primos. $x$ y $y$ pueden tener primos comunes en la descomposición. Si $x$ y $y$ no tienen ningún primo común en la descomposición, entonces por la caracterización anterior, obtenemos que $xy$ es un cuadrado si y sólo si $x$ y $y$ son cuadrados. Si $x$ y $y$ tienen primos comunes en la descomposición, digamos por ejemplo $l_1=p_1$ y $l_2=p_2$ y sólo ellos (sin pérdida de generalidad), entonces por la caracterización $xy$ es un cuadrado si y sólo si $f_1+g_1$ y $f_2+g_2$ son pares, y todas las demás potencias ( $f_i$ y $g_j$ ) son números pares.

Answer 2

La fórmula más común para generar triples pitagóricos es la fórmula de Euclides, que aquí se muestra como $\quad A=m^2-k^2\quad B=2mk\quad C=m^2+k^2.\qquad$ El lado B debe ser múltiplo de $\space4\space$ por lo que, para ser un cuadrado, el lado-B debe ser el producto de $\space4\space$ y otro cuadrado, es decir $\quad 4\times1=4,\space\space 4\times4=16,\space\space 4\times9=36, \space\cdots.\quad$ Hay un número infinito de ellos y, para encontrar los triples correspondientes, dividimos lado-B por $\space 2\space$ y seleccionar los cofactores del resultado que sean primos entre sí y en los que $\space m>k.\quad$ Por ejemplo, si $\space B=36,\space$ seleccionamos los pares de cofactores de $\space 18:\space(9,2), (18,1),\space$ ignorando $\space (6,3)\space$ porque $\space (6,3)\space$ no son primos entre sí. Una vez hecho esto, encontramos

$$f(9,2)=(77,36,85)\qquad f(18,1)=(323,36,325)$$

Answer 3

Las fórmulas habituales para los triples pitagóricos primitivos son $$ a = 2pq,\;\; b = p^2-q^2,\;\; c = p^2+q^2,\;\; a^2+b^2=c^2. $$ Si dejamos que $\,x=p^2,\;y=q^2,\,$ entonces las fórmulas se convierten en $$ a \!=\! \sqrt{4xy},\; b\!=\!x\!-\!y,\; c\!=\!x\!+\!y,\; 4xy\!+\!(x\!-\!y)^2\!=\!(x\!+\!y)^2. $$ Tenga en cuenta que $\,x,y\,$ son relativamente primos si y sólo si $\,p,q\,$ son relativamente primos.

Creo que ya puedes deducir el resto.