serie Laurent de $f(z)=(z^2-1)\mathrm{cos}\frac{1}{z+i}$ en $z_{0}=-i$ y $Res[f(z), -i]$

Question

Así es como me ha ido hasta ahora: $$ f(z)=(z^2-1)\mathrm{cos}\frac{1}{z+i} \\w=z+i \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; z=w-i \\f(w)=((w-1)^2-1)\mathrm{cos}\frac{1}{w}=(w^2-2wi-2)\mathrm{cos}\frac{1}{w} \\f(w)=w^2\cdot\mathrm{cos}\frac{1}{w}-2wi\cdot\mathrm{cos}\frac{1}{w}-2\cdot\mathrm{cos}\frac{1}{w}= \\= w^2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n}(2n)!}-2wi\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n}(2n)!}-2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n}}= \\=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n-2}(2n)!}-2i\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n-1}(2n)!}-2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n}(2n)!}= \\=w^2-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n-2}(2n)!}-2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n}(2n)!}-2i\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n-1}(2n)!}= \\=w^2-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{w^{2n}(2n+2)!}-2\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n}(2n)!}-2i\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n-1}(2n)!} \\ f(w)=w^2-\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!}-2\frac{(-1)^n}{(2n)!}\right )\frac{1}{w^{2n}}-2i\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{w^{2n-1}(2n)!} $$

Así que finalmente Laurent serie es: $$ f(z)=(z+i)^2-\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!}-2\frac{(-1)^n}{(2n)!}\right )\frac{1}{(z+i)^{2n}}-2i\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z+i)^{2n-1}(2n)!} $$

Todavía no sé cómo encontrar residuos $Res[f(z), -i]$ .

¡Muchas gracias por la ayuda de antemano!

Answer 1

Así que si alguien alguna vez necesita esto, así es como se hace:

Encontramos la serie de Laurent para una función dada, que en este caso es la última expresión: $$ f(z)=(z+i)^2-\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!}-2\frac{(-1)^n}{(2n)!}\right )\frac{1}{(z+i)^{2n}}-2i\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z+i)^{2n-1}(2n)!} $$

Ahora el residuo $Res[f(z), z_{0}]$ es el coeficiente $b_1$ junto a $(z-z_{0})^{-1}$ en la expansión en serie de Laurent, por lo que en nuestro caso necesitamos el coeficiente que está al lado de $(z+i)^{-1}=\frac{1}{(z+i)^{1}}$ . Sin embargo, tenemos tres expresiones en nuestra expansión de Laurent. La primera es $(z+i)^2$ que nunca puede ser $(z+i)^{-1}$ obviamente. Lo mismo ocurre con la segunda expresión, ya que resume los términos por números pares ( $2n$ ). Por lo tanto, el residuo debe encontrarse en la última expresión. Para obtener $\frac{b_1}{(z+i)^{1}}$ claramente tiene que ser $2n-1=1$ por lo que encontraremos el residuo para $n=1$ (que es $\frac{(-1)^1}{(z+i)^12!}$ ).

Por fin: $$Res[f(z), -i]=-2i\cdot\frac{(-1)^1}{2!}=i$$