Hola así que actualmente estoy estudiando Teoría de Grafos y tenía una pequeña introducción a los conjuntos. Ya estoy familiarizado con un conjunto, pero sacó un nuevo término que nunca había oído antes, "clase". Dice que una clase es más grande que un conjunto, ¿eso significa que un conjunto tiene un límite en el número de caracteres que tiene? No tengo ni idea de cómo entender esto, gracias de antemano :)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La diferencia entre clase y conjunto es puramente formal. Ambas son "colecciones". Así que para responder a esta pregunta tenemos que hablar un poco de las teorías de conjuntos. Un conjunto es un objeto al que se aplican los axiomas de la teoría de conjuntos. Por tanto, un conjunto es un objeto en ZFC, o en alguna otra teoría de este tipo.
Cabe preguntarse por la colección de todos los conjuntos (en ZFC). Pero si se supone que esta colección es un conjunto, es decir, que existe un conjunto de todos los conjuntos, podemos generar una paradoja aplicando las reglas de la teoría de conjuntos. Aplicar el axioma de comprensión al conjunto de todos los conjuntos puede generar la paradoja de Russell. Entonces, nos vemos obligados a decir que la colección de todos los conjuntos es "demasiado grande" para ser un conjunto porque si la tratamos como un conjunto acabamos en contradicción. En su lugar, la llamamos clase propia. Esta clase propia es como una colección, pero no podemos aplicarle las reglas de la teoría de conjuntos.
Hay otras colecciones que son "demasiado grandes" para formar un conjunto. Por ejemplo, la colección de todos los números ordinales, la colección de todos los grupos, etc. Esto sólo significa que si aplicamos las reglas estándar de la teoría de conjuntos a estas colecciones, es decir, tratarlas como conjuntos, entonces podemos generar una paradoja.
Entonces, ¿qué es realmente una clase? Pues bien, una clase puede representarse mediante una fórmula en lógica de primer orden. Pensamos en la clase como la colección de todos los conjuntos que satisfacen la fórmula. Pero no podemos reunir todos esos conjuntos en uno solo, porque entonces podríamos generar una paradoja. En la mayoría de las matemáticas cotidianas, no tendrá que preocuparse por esta distinción.
EDITAR. Quiero añadir que hay otras cosas a las que no llamamos conjuntos porque no se les aplican los axiomas de la teoría de conjuntos. Un ejemplo es el objeto definido por la fórmula $x=\{x\}$ . No llamamos conjunto a tal cosa (en ZFC) porque viola uno de los axiomas de ZFC. Pero tampoco lo llamamos clase. ¿Por qué? Porque cualquier cosa $x$ es, no parece comportarse como la noción intuitiva de colección. Tiene una cadena descendente infinita de elementos ya que tenemos: $$...\in x\in x\in x$$ En general, pensamos que las colecciones están bien fundadas. Así que esta $x$ no se comporta, ni siquiera intuitivamente, como una colección. Por lo tanto, ni siquiera es una colección. Como se supone que las clases son como colecciones, pero demasiado grandes para aplicar las reglas de la teoría de conjuntos, no llamamos clase a algo así.
Esto ilustra el hecho de que las clases son "colecciones", pero no podemos tratarlas formalmente como conjuntos.
