Sea el siguiente espacio topológico (con la topología del subspace) $X$: Conecte los puntos racionales de $(\cap \mathbb{Q})\times \{0\}$ [0,1] con el $ punto $(0,1) y conectar los puntos de $([-1,0] \cap \mathbb{Q})\times \{1\}$ con $(0,0), como se muestra en la figura. ¿Es $X$ contractible?
Primero vamos a restringir el estudio a una simple clase de funciones continuas.
Una función continua $f : X \rightarrow X$ es "sencillo" si $\forall y \en [0;1], \existe y' \en [0;1]$ tales que :
Esto significa que la imagen de un punto $$ x en el segmento central es un punto de $f(x)$ en el segmento central, los puntos a su izquierda se envían a los puntos correspondientes de la izquierda de $f(x)$ o iguales a $f(x)$, y lo mismo con los puntos de la derecha.
Llame a $\hom_S(X,X)$ el conjunto de mapas sencillos. Me podría definir una clase más general de mapas sencillos por ejemplo, permitiendo que los puntos de la izquierda para ser enviados a los puntos de la derecha, pero sólo haría las cosas más complicadas, y es innecesario, ya que esto será suficiente para separar el mapa de identidad de una constante mapa.
El mapa de identidad $id_X$, y la constante de mapa $k : x \rightarrow (0,1/2)$ en $\hom_S(X,X)$ Sin duda, si quiero demostrar que $X$ es no contráctiles, es al menos tan difícil como demostrando que no es contráctiles con un homotopy que sólo utiliza mapas sencillos. Así que, vamos a demostrar que no hay homotopy de mapas sencillos entre $id_X$ y $k$.
Con el fin de hacer eso, me muestran que $\hom_S(X,X)$ es "homeomórficos" a un subconjunto de $\hom([0;1],S^1)$ :
Por $f : [0;1] \rightarrow S^1$, definir $\phi(f) \in \hom_S(X,X)$, con : $$\phi(f)(0,y) = \left\{\begin{array}{ll}(0,2 f(y)/\pi) & \text{para} f(y) \in [0; \pi/2] \\ (0,2-2f(y)/\pi) & \text{para} f(y) \in [\pi/2; \pi] \\ (0,2 f(y)/\pi-2) & \text{para} f(y) \in [\pi; 3\pi/2] \\ (0,4-2f(y)/\pi) & \text{para} f(y) \in [3\pi/2; 2\pi]\end{array} \right. $$
los puntos a la izquierda de $(0,y)$ son llevados a los puntos a la izquierda de $f(0,y)$ si $\theta \en [0; \pi]$, son enviados a $f(0,y)$ de otro modo ;
los puntos a la derecha de $(0,y)$ son llevados a los puntos a la derecha de $f(0,y)$ si $\theta \[- \pi/2; \pi/2]$, son enviados a $f(0,y)$ de otra manera.
Es fácil comprobar que $\phi(f)$ es continua si y sólo si $f(0) \noen [0; \pi]$ y $f(1) \noen [-\pi/2; \pi/2]$. Si me llaman de $\hom_S([0;1],S^1)$ el subconjunto de las funciones con esta propiedad, $\phi$ es un bijection de $\hom_S([0;1],S^1)$ en $\hom_S(X,X)$, que conserva homotopies.
Ahora tenemos que estudiar homotopies en $\hom_S([0;1],S^1)$.
Por $f \in \hom_S([0;1],S^1)$, definir $w(f) = $ el número de veces que la función de los vientos hasta de $0$ a $\pi/2$. Más precisamente, definir $\alpha : S^1 \rightarrow S^1 : \theta \rightarrow 4\theta$ para $\theta \en [0;\pi/2]$ y $0$ lo contrario. $\forall f \in \hom_S([0;1],S^1), (\alpha \circ f)(0) = (\alpha \circ f)(1) = 0$, por lo que podemos cociente que mapa y obtener una función $\hat{f} : S^1 \rightarrow S^1$. A continuación, defina $w(f)$ como la liquidación cantidad de $\hat{f}$.
$w$ es homotópica invariante (de hecho, es completamente describe homotopy dentro de $\hom_S(X,X)$), pero $w(\phi^{-1}(id_X)) = 1$ mientras $w(\phi^{-1}(k)) = 0$. Por lo tanto $id_X$ y $k$ no son homotópica dentro de $\hom_S(X,X)$
Ahora lo que queda es para demostrar que si hay un homotopy el uso continuo de los mapas, luego hay uno que sólo utiliza mapas sencillos. Para hacer eso, necesito una aproximación mapa de $\psi : \hom(X,X) \rightarrow \hom_S (X,X)$ que empujar hacia adelante homotopies.
En primer lugar, defina $\psi(f)(0,y) = (0,y')$, donde $(x',y') = f(0,y)$. Si $x \neq 0$, enviar todos los puntos en el lado derecho/izquierdo de $(0,y)$ en $(0,y')$ así.
De lo contrario, tenemos que decidir cuándo enviar los puntos en el lado derecho/izquierdo de $(0,y)$ en el lado derecho/izquierdo de $f(0,y)$. Hay una cantidad no numerable de maneras de hacerlo, así que vamos a resolver arbitrariamente con esto :
Para $y \in [0;1]$, definir $P_l(y) = \existe x_1,x_2,\ldots x_n \ldots < 0, \lim x_n = 0$ y $f(x_n,y)$ está en la (estrictamente) a la izquierda de la mitad de $X$, y del mismo modo $P_r(y) = \existe x_1,x_2,\ldots x_n \ldots > 0, \lim x_n = 0$ y $f(x_n,y)$ está en la (estrictamente) a la derecha de la mitad de $X$. A continuación, enviar los puntos a la izquierda (resp. a la derecha) lateral de $(0,y)$ a la izquierda (resp. derecho) de $\psi(f)(0,y)$ si y sólo si $P_l(y)$ (resp. $Pr(y)$) es verdadera. Es importante tener en cuenta que $P_l(0)$ y $P_r(1)$ son siempre falsas.
Ahora tengo que demostrar que no sólo de $\psi(f)$ es continua, sino que para cualquier homotopy $h : [0;1] \times X \rightarrow X$, el mapa de $\psi(h) : [0;1] \times X \rightarrow X$ es un homotopy de mapas sencillos.
Supongamos que $(t_n,y_n) \rightarrow (t,y)$ en $[0;1]\times[0;1]$. Llame a $(x'_n,y'_n) = h(t_n,(0,y_n))$ y $(x',y') = h(t,(0,y))$.
En primer lugar, $h(t_n,(0,y_n)) \rightarrow (x',y') = h(t,(0,y))$. Esto muestra que $\psi(h)(t_n,(0,y_n)) \rightarrow (0,y') = \psi(h)(t,(0,y))$.
Si $x \neq 0$, entonces, finalmente, tampoco los de $x'_n$ entonces $\psi(h)(t_n,(x_n,y_n)) = (0,y'_n) \rightarrow (0,y') = \psi(h)(t,(x,y))$, para cualquier secuencia de $x_n \rightarrow x$.
Si $y' \noen \{0;1\}$, entonces existe una vecindad de $(0,y')$ en $X$, donde las líneas diagonales son todos los desconectados unos de otros, así que por $$ n suficientemente grande, los puntos sobre las líneas diagonales cerca de $(0,y)$ que se envían en las líneas diagonales cerca de $(0,y')$ está atrapado allí, por lo que finalmente $P_l$ y $P_r$ no va a cambiar. Esto también significa que, si $y=0$ (resp. $s=1$), $P_l$ (resp. $P_r$) tiempo debe ser falsa. Así que no hay ninguna obstrucción y $\psi(h)(t_n,(x_n,y_n)) \rightarrow \psi(h)(t,(x,y))$ para cualquier secuencia de $x_n \rightarrow x$.
La única problemática puntos cuando $y' = 0$ o $y' = 1$. Por ejemplo, si $y' = 0$, entonces $P_r$ no va a cambiar por la misma razón, como se indicó anteriormente, por lo que $\psi(h)(t_n,(x_n,y_n)) \rightarrow (0,y') = \psi(h)(t,(x,y))$ para cualquier secuencia positiva de $x_n \rightarrow x$. Para los puntos de la izquierda, desde $y'_n \rightarrow 0$, lo $P_l(y_n)$ es y para cualquier secuencia negativa de $x_n \rightarrow x$, $\psi(h)(t_n,(x_n,y_n)) \rightarrow (0,0) = \psi(h)(t,(x,y))$ .
El caso $y' = 1$ es similar, y esto demuestra que la aproximación del mapa de $\phi$ transporte homotopies en $\hom(X,X)$ en homotopies en $\hom_S(X,X)$ (aunque no tire homotopies en todos). Desde $id_X$ y $k$ no fueron homotópica en $\hom_S(X,X)$, no son homotópica en $\hom(X,X)$, lo que muestra que $X$ es no contráctiles.
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