diferencia matemática entre vectores columna y vectores fila

Question

Estoy escribiendo una biblioteca matemática; y tengo una idea en la que quiero convertir automáticamente matrices de columnas y matrices de filas en vectores, con todas las propiedades matemáticas de un vector.

Respuesta que estoy buscando:

Alguien con un buen razonamiento matemático que explique por qué:

Las matrices de columnas, los vectores de columnas, las matrices de filas y los vectores de filas no deben considerarse lo mismo. (Por supuesto, la biblioteca entenderá operaciones como [[1,2],[3,4]] * [1,2], donde [1,2] es un vector)

o:

algún tipo de escaparate o ejemplo en el que sea imposible para una biblioteca que no sabe diferenciar entre vectores fila y vectores columna saber cuál de las varias respuestas posibles es la correcta.

o:

algún tipo de prueba de que, de hecho, es posible hacerlo.

nota: la multiplicación interna de vectores se integrará fácilmente utilizando una función especial para dicha función en lugar del signo *.

Answer 1

Un ejemplo "tonto" es el producto de una matriz de columnas por una matriz de filas. Consideremos: $$ \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 6 \end{array}\right]$$ . Por las reglas de la multiplicación de matrices, obtenemos la $3 \times 3$ matriz: $$ \left[\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{array}\right]$$ Sin embargo, si hubiera "olvidado" que mis matrices originales eran matrices de columnas y filas, respectivamente, entonces podría haberlas considerado como vectores y (quizás) haber calculado el producto interior: $$ (1, 2, 3) \cdot (4, 5, 6) = 32$$ . Por cierto, si se trabaja enteramente en términos de matrices, y se considera que cualquier vector es un columna entonces el producto interior puede definirse por $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{v}^T\mathbf{w}$ que es una práctica habitual en la mayoría de los textos de álgebra lineal.

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

No espere encontrar ninguna distinción matemática importante entre ellos: estos objetos sólo difieren a nivel de notación y convención . Formarán espacios vectoriales isomorfos (es decir, estructuralmente equivalentes).

Hay bastantes de estas cosas:

• $n \times 1$ matrices (columna) y vectores columna de longitud $n$ por ejemplo, \[\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \derecha). Una matriz utiliza dos índices $A(i,j)$ say (donde, en este caso, index $j$ sólo puede tomar un valor), mientras que un vector columna sólo tiene uno (esta distinción puede importar, por ejemplo, en los sistemas de álgebra computacional).

• $1 \times n$ matrices (fila) y vectores fila de longitud $n$ por ejemplo, \[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \(derecha). Misma diferencia que con las matrices columna y los vectores columna.

• matriz unidimensional de longitud $n$ (o un $k$ -donde $k-1$ los índices sólo pueden tomar un valor y un índice puede tomar $n$ valores).

• Secuencias de longitud $n$ listas ordenadas de longitud $n$ u ordenó $n$ -conjuntos múltiples, por ejemplo $(1,2,3)$ .

• Funciones $f:\{1,2,\ldots,n\} \rightarrow S$ por ejemplo $f(x)=x$ y $n=3$ .

• Coeficientes de polinomios de grado $n-1$ con un único indeterminado $x$ por ejemplo $1+2x+3x^2$ .

El ingrediente clave en cada caso es que hay un 1er elemento, un 2º elemento, hasta el n-ésimo elemento. Las definiciones individuales tendrán sus propias convenciones (como el funcionamiento de la multiplicación de matrices) y serán más fáciles de utilizar en contextos diferentes.

Answer 3

En mi opinión, la mejor razón para imponer las reglas notacionales comunes es algo como el análisis dimensional. Quiero saber explícitamente cuando he multiplicado cosas que no fueron creadas para ser multiplicadas, en lugar de que una biblioteca asuma que mi intención era transponer el vector accidental. Esto variará según el campo, pero en algunos (ML), hay normas bastante bien definidas sobre qué dimensión tiene qué significado.

Supongo que esto es similar al debate sobre los sistemas de tipado, salvo que las ventajas de "tipar" vagamente los vectores aquí son casi inexistentes para el usuario final. Una biblioteca es una herramienta, no debería disminuir la expresividad fundamental para facilitar la implementación.