Encontrar el polinomio mínimo de $\sqrt 2 + \sqrt[3] 2$ en $\mathbb Q$ .

Question

Tengo que encontrar el polinomio mínimo de $\sqrt 2 + \sqrt[3] 2$ en $\mathbb Q$ . La forma sugerida de hacerlo es demostrar que $\mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2]=\mathbb Q[\sqrt 2,\sqrt[3] 2]$ primero.

Puedo demostrarlo. Es suficiente para demostrar que $\sqrt 2,\sqrt[3] 2\in \mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2]$ y que $\sqrt 2 + \sqrt[3] 2\in \mathbb Q[\sqrt 2,\sqrt[3] 2]$ . Esto último es obvio y $\sqrt[3] 2\in \mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2]$ seguirá de $\sqrt 2\in \mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2].$ Queda por demostrar $\sqrt 2\in \mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2].$

Para $\alpha=\sqrt 2 + \sqrt[3] 2,$ tenemos

$$ \begin{eqnarray} &\alpha^0&=1,\\ &\alpha^1&=\sqrt 2 + \sqrt[3] 2,\\ &\alpha^2&=2+\sqrt[3]4+\sqrt 2\sqrt[3]2\\ &\alpha^3&=2+2\sqrt 2+6\sqrt[3]2+3\sqrt 2\sqrt[3]4\\ &\alpha^4&=4+4\sqrt 2+12\sqrt[3]4+8\sqrt 2\sqrt[3]2\\ &\alpha^5&=32+4\sqrt 2+20\sqrt[3]2+4\sqrt 2\sqrt[3]2 \end{eqnarray} $$

Si puedo expresar $\sqrt 2$ como combinación lineal de $\{\alpha^0,\alpha^1,\cdots,\alpha^5\}$ He terminado. No sé cómo averiguar si $$\{1,\sqrt 2,\sqrt[3]2,\sqrt[3]4,\sqrt 2\sqrt[3]2,\sqrt 2\sqrt[3]4\}$$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$ pero creo que no tiene que importarme. Puedo utilizar la eliminación de Gauss de todos modos. Escribo la matriz

$$\left[ \begin{array}{rrrrrr|r} 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 8 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 6 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 5 & 0 \end{array}\right]$$

y realizando operaciones de fila obtengo una forma escalonada de fila, lo que demuestra que si quiero obtendré la forma escalonada de fila reducida, que me dará los coeficientes deseados $a_0,\cdots,a_5$ tal que

$$\sqrt 2=\sum_{i=0}^5a_i\alpha^i.$$

No tengo que encontrar los coeficientes, me basta con que existan.

Si esto es correcto, he demostrado que

$$\mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2]=\mathbb Q[\sqrt 2,\sqrt[3] 2].$$

Pero no sé cómo seguir adelante. Por supuesto, puedo encontrar los polinomios mínimos de $\sqrt 2$ y $\sqrt[3] 2$ en $\mathbb Q$ pero no sé cómo encontrar el polinomio mínimo de $\sqrt 2$ en $\mathbb Q[\sqrt[3]2]$ o el polinomio mínimo de $\sqrt [3]2$ en $\mathbb Q[\sqrt 2].$

Lo que hice fue lo siguiente. Escribí la ecuación

$$x=\sqrt 2+\sqrt [3]2$$

y elevando al cuadrado y al cubo obtuvo

$$W(x):=x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4=0.$$

Creo que este es el polinomio requerido pero necesitaría probar que es irreducible sobre $\mathbb Q.$ El criterio de Eisenstein no funciona, lo que significa que estoy perdido.

¿Podría ayudarme con esto? Me gustaría saber tres cosas.

1) ¿Es mi prueba de $\mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2]=\mathbb Q[\sqrt 2,\sqrt[3] 2]$ ¿correcto?

2) ¿Cómo puedo utilizar este dato? Creo que debe facilitar la búsqueda de la solución.

3) ¿Cómo puedo saber si $W(x)$ es reducible sobre $\mathbb Q$ ¿o no?

EDITAR: 1) ha sido contestada por André Nicolas en un comentario. Todo esto responde a 3) pero me gustaría preguntar si podríamos saber que el polinomio es irreducible sin saber que $\sqrt 2+\sqrt[3]2$ es su cero. Además, sería saber si

4) existe un teorema que me daría $\mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3] 2]=\mathbb Q[\sqrt 2,\sqrt[3] 2]$ sin necesidad de realizar la eliminación gaussiana?

Para estos números era posible hacerlo, pero una dimensión un poco más alta y resultaría imposible sin un ordenador.

Answer 1

He aquí una manera extremadamente fácil de demostrarlo $\sqrt{2} \in \Bbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt[3]{2})$ . Escriba a $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ . Entonces $(\alpha-\sqrt{2})^3 = 2$ de modo que

$$\alpha^3 - 3\alpha^2(\sqrt{2}) + 6\alpha -2\sqrt{2} = 2.$$

De ello se deduce que $\alpha^3+ 6\alpha - 2 = \sqrt{2}(3\alpha^2+ 2)$ de modo que

$$\sqrt{2} = \frac{\alpha^3 + 6\alpha - 2}{3\alpha^2 + 2}.$$

Desde $\Bbb{Q}(\alpha)$ es un campo, la expresión del lado derecho está aquí, de modo que $\sqrt{2}$ está aquí. ¡Nada de usar la horrible reducción de filas para calcular nada! Se deduce que $\sqrt[3]{2}$ está aquí. Por lo tanto $\Bbb{Q}(\alpha)$ contiene los campos $\Bbb{Q}(\sqrt{2})$ y $\Bbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ lo que significa que $[\Bbb{Q}(\alpha) : \Bbb{Q}]$ es múltiplo de 3 y de 2. Como ya sabemos que es como máximo $6$ se deduce que $2$ y $3$ son coprimos que $[\Bbb{Q}(\alpha) : \Bbb{Q}] = 6$ . Cualquier polinomio mónico de grado 6 que encuentres para $\alpha$ en $\Bbb{Q}$ será entonces irreducible, y por lo tanto será el polinomio mínimo de $x$ en $\Bbb{Q}$ .

Answer 2

Hay una forma más fácil de hacerlo. Observe que sobre $\mathbb Q[\sqrt 2]$ , $\sqrt 2 + \sqrt[3]2$ es una raíz de $(x-\sqrt 2)^3 - 2$ . Las raíces de este polinomio son $\sqrt 2 + \omega \sqrt[3]2$ con $\omega^3 = 1$ y está claro que ninguno de ellos está en $\mathbb Q[\sqrt 2]$ porque si lo hicieran, tendríamos $\omega \sqrt[3]2 \in \mathbb Q[\sqrt 2]$ y el polinomio mínimo de esos tres sobre $\mathbb Q$ es $x^3-2$ que es irreducible sobre $\mathbb Q$ Por lo tanto $[\mathbb Q[\omega \sqrt[3]2] : \mathbb Q] = 3$ lo que significa que no pueden estar en $\mathbb Q[\sqrt 2]$ desde $[\mathbb Q[\sqrt 2] : \mathbb Q] = 2$ . Ahora sabiendo esto, como un polinomio de grado $3$ es irreducible si y sólo si no tiene raíces, $(x-\sqrt 2)^3 - 2$ también es irreducible sobre $\mathbb Q[\sqrt 2]$ por lo que es el polinomio mínimo de $\sqrt 2 + \sqrt[3]2$ en $\mathbb Q[\sqrt 2]$ y $$ [\mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3]2] : \mathbb Q] = [\mathbb Q[\sqrt 2 + \sqrt[3]2] : \mathbb Q[\sqrt 2]][\mathbb Q[\sqrt 2] : \mathbb Q] = 3 \cdot 2 = 6. $$ Por lo tanto sabes que el polinomio mínimo de $\sqrt 2 + \sqrt[3]2$ en $\mathbb Q$ tiene grado $6$ . Ahora basta con calcular un polinomio de grado $6$ del que este tipo es una raíz. Eso es computación : computar todas las potencias de $\sqrt 2 + \sqrt[3]2$ hasta la sexta potencia y usar álgebra lineal. Veo que lo has hecho, así que supongo que has terminado.

Y 1) es correcto. Puedes utilizar este hecho para demostrar que $2$ y $3$ divide el orden de su extensión de grado, lo que significa que $6$ lo divide. Como has encontrado un poylnomio de grado $6$ del que su elemento es una raíz, el polinomio debe ser irreducible.

Espero que le sirva de ayuda,

Answer 3

Como se indica en la respuesta de Patrick, el grado del polinomio mínimo debe ser seis. Dado esto, basta con construir un polinomio de grado seis con tu número como raíz. Una forma es el álgebra lineal por fuerza bruta. Aquí hay una forma más eficiente y sistemática; es parte de una prueba constructiva de que, dados anillos conmutativos $R \subseteq S$ el conjunto de elementos de $S$ que son integrales sobre $R$ es un subring.

Sea $\alpha$ y $\beta$ sean números algebraicos con conjugados $\alpha=\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ y $\beta=\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$ . Entonces el polinomio

$$f(x)=\prod (x-\alpha_i-\beta_j)$$

tiene $\alpha+\beta$ como raíz, y gracias a un argumento de simetría, tiene coeficientes en $\mathbb{Q}$ . Evidentemente, el grado de $f(x)$ es $mn$ lo que obliga a que sea el polinomio mínimo si, como en tu situación, sabes por otras razones que $\alpha+\beta$ tiene grado $mn$ . De este modo se obtiene rápidamente la respuesta.

En cuanto a su pregunta 4) anterior, es un teorema que, dados números algebraicos $\alpha$ y $\beta$ la "mayoría" de las combinaciones lineales $\alpha+\mu \beta$ (para $\mu \in \mathbb{Q}$ ) generar $\mathbb{Q}[\alpha,\beta]$ . Pero comprobar si esto ocurre definitivamente para una elección concreta puede llevar mucho tiempo (aunque hay que tener "mala suerte" para que falle).

Answer 4

Para responder a (3), una forma directa de demostrar que un polinomio entero es irreducible es intentar factorizarlo sobre campos finitos. Si encuentras un campo finito donde es irreducible, entonces es irreducible como polinomio entero. Con un poco de cuidado, se puede acelerar esto; por ejemplo, si:

• Encuentras un campo finito donde se factoriza en grado 2 y grado 4
• Encuentras otro campo finito donde se factoriza en grado 3 y grado 3

Entonces tiene que ser irreducible. Esto, por supuesto, supone que usted sabe cómo factorizar en campos finitos....