Hace poco empecé a estudiar geometría algebraica con un par de amigos y, sobre todo en las discusiones en línea, seguimos leyendo sobre el desarrollo de la intuición geométrica. Hay algunas preguntas en este sitio web sobre el desarrollo de la intuición geométrica, pero ninguno de ellos realmente preguntar por lo que la intuición geométrica es . No parece evidente lo que significa el concepto de intuición geométrica en el contexto de la geometría algebraica moderna, por lo que parece difícil juzgar cuándo se ha empezado a desarrollar. Especialmente, cuando los problemas en teoría de números a menudo pueden relacionarse con la geometría algebraica y luego resolverse utilizando esta intuición geométrica.
Permítanme dar un ejemplo de análisis elemental, donde esto es completamente obvio. Tomemos el teorema del estrujamiento. Cualquiera puede visualizar dos gráficas en su cabeza y "ver" que cualquier cosa entre ellas debe ser empujada al mismo punto. Entonces la demostración sólo corresponde a haber aprendido a traducir una imagen a un argumento formal épsilon-delta. Mi pregunta es entonces si un geómetra algebraico o un geómetra algebraico aritmético que trabaja realmente ve en su cabeza bonitas imágenes de líneas, superficies y curvas. ¿O es sólo cuestión de haber desarrollado experiencia sobre cómo se comportan los distintos objetos algebraicos? Esto último no parecería muy diferente de haber desarrollado una intuición sobre, digamos, la teoría de campos a través de la experiencia y esta intuición difícilmente podría ser llamada "geométrica" por nadie.
Siéntase libre de cerrar si esta pregunta se considera inapropiada para este sitio web, desde luego lo entiendo. El motivo de publicarla aquí en lugar de en math.stackexchange es que los estudiantes de posgrado de mi departamento no parecen tener la experiencia necesaria para responderla. Estoy seguro de que esta intuición sigue desarrollándose durante mucho tiempo después de terminar los estudios de posgrado. Por lo tanto, esperaba que un público con experiencia estuviera dispuesto a responder.
