Utilizando el teorema de Taylor con resto para demostrar que la función es suave

Question

Si $f \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ con $f(0,0)=\frac{\partial f} {\partial x}(0,0)=\frac{\partial f} {\partial y}(0,0)=0$ . Definición de $g(t,u)=\frac{f(t,ut)}{t}$ para $t \neq 0$ y $g(0,u)=0$ . Quiero demostrar que $g \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ . Usando el teorema de Taylor con resto sé que hay $g_{11}, g_{12} \text{, } g_{22} \in C^\infty(\mathbb{R}^2) $ tal que $$g(t,u)=tg_{11}(t,tu)+tug_{12}(t,tu)+tug_{22}(t,tu)$$

Por lo tanto, está claro que $g$ es suave para $t \neq 0$ . Cómo demostrar que en $t = 0$ $g $ ¿es suave? He intentado demostrar que todas las derivadas parciales existen y son continuas por límite, pero no parece prometedor.

Answer 1

El resultado deseado se obtiene aplicando lo siguiente a $h(x,y) = f(x,xy)$ .

Lemma: Supongamos $h \in C^{\infty}(\mathbb R^2)$ . Defina $$ g(x,y) = \cases{\displaystyle\frac{h(x,y) - h(0,y)}x & if $ x \ne 0 $ \\ \displaystyle\frac{\partial h}{\partial x}(0,y) & if $ x = 0 $.} $$ Entonces $g \in C^{\infty}(\mathbb R^2)$ .

Prueba: Dado que $\frac{\partial h}{\partial x}$ es $C^\infty$ se puede demostrar que $g$ es $C^\infty$ utilizando la fórmula: $$ g(x,y) = \int_0^1 \frac{\partial h}{\partial x}(tx,y) \, dt $$ y pasando derivadas bajo la integral.

Para mostrar la fórmula, observe primero que es trivial si $x = 0$ . En caso contrario, aplique el cambio de variable $s = tx$ para obtener $$ \int_0^1 \frac{\partial h}{\partial x}(tx,y) \, dt = \frac1x \int_0^x \frac{\partial h}{\partial x}(s,y) \, ds $$ y luego aplicar el teorema fundamental del cálculo.