Solución de: Sea $k,n \in \mathbb{N}$ y $\frac{n(n-1)}{4} = \frac{k(k-1)}{2} $

Question

Sea $k,n \in \mathbb{N}$ , $k,n < 101 $ y $\frac{n(n-1)}{4} = \frac{k(k-1)}{2} $ .

¿Cómo puedo solucionar esto y encontrar $n$ y $k$ de forma analítica sin probar algunas soluciones?

Answer 1

Resolver la ecuación dada $$n^2-n=2k^2-2k$$ para $n$ obtenemos $$n=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+2k^2-2k}$$ o $$n=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+2k^2-2k}$$ ahora puedes resolver la desigualdad $$n=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+2k^2-2k}<101$$ escribiendo la desigualdad en la forma $$\sqrt{\frac{1}{4}+2k^2-2k}<101-\frac{1}{2}$$ elevando esto al cuadrado obtenemos $$2k^2-2k<101^2-101$$ y de aquí obtenemos el intervalo $$\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{20201}\right)<k<\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{20201}\right)$$