Algunos valores exactos de $\cos \theta$ utilizando el teorema de de Moivre

Question

Actualmente me encuentro ante la siguiente pregunta:

Demostrando que $$\cos5\theta = \cos\theta(16\cos^4\theta - 20\cos^2\theta + 5)$$ y luego resolver la ecuación $\cos5\theta = 0$ deduzca que

$$\cos^2\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{5+\sqrt{5}}{8}$$

y así encontrar los valores exactos de $\cos^2\left(\frac{3\pi}{10}\right), \cos^2\left(\frac{7\pi}{10}\right), \cos^2\left(\frac{9\pi}{10}\right)$ .

He demostrado la primera parte utilizando el teorema de de Movire y tras resolver $\cos5\theta = 0$ llegó a la siguiente ecuación:

$$\cos^2 \left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{5\pm\sqrt{5}}{8}$$

Dónde $\frac{\pi}{10}$ puede sustituirse por $\frac{3\pi}{10}$ , $\frac{7\pi}{10}$ etc. ya que son otras posibles soluciones a la hora de encontrar $\theta$ de $\cos5\theta = 0$ .

Sin embargo no estoy seguro de cómo se supone que debo saber si tomar o no la raíz positiva o negativa en función del ángulo (es decir, para $\frac{\pi}{10}$ , $\frac{7\pi}{10}$ , $\frac{3\pi}{10}$ , $\frac{9\pi}{10}$ ), para obtener el valor exacto.

Answer 1

Desde $\cos^2 \theta$ es estrictamente decreciente en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ debemos tener que $$\cos^2 \left(\frac{\pi}{10}\right) > \cos^2 \left(\frac{3 \pi}{10}\right),$$ y así $$\cos^2 \left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{5 + \sqrt{5}}{8} \qquad \text{and} \qquad \cos^2 \left(\frac{3\pi}{10}\right) = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}.$$ Los valores restantes pueden determinarse mediante un argumento similar, o utilizando estos valores junto con la identidad fácil $\cos^2 \theta = \cos^2 (\pi - \theta)$ .