Continuidad absoluta, Lipschitz

Question

Estoy estudiando para un examen de cualificación y no consigo resolver este problema. Agradecería cualquier sugerencia.

Sea $f:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ sea absolutamente continua. Demostrar, para cada $\epsilon>0$ que existe una función(global) uniformemente Lipschitz $g:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ tal que $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ para todos $x\in [a,b]$ .

Answer 1

Para ampliar mi comentario:

Un enfoque consiste simplemente en invocar el teorema de aproximación de Weierstrass. Esto funciona incluso si $f$ es meramente continua, y da una $g$ que es un polinomio, que es drásticamente más fuerte que simplemente ser Lipschitz o incluso $C^\infty$ .

También podría dar una prueba más directa. Una función absolutamente continua tiene una derivada que es $L^1$ una función Lipschitz tiene una derivada acotada. Se puede aproximar $L^1$ por funciones acotadas. Ahora, para volver de la derivada a la función, ¿qué podrías hacer...?

Efectivamente, integrar. Así que encontrar una función acotada medible $h$ que está cerca de $f'$ en $L^1$ norma. ¿Qué puedes decir sobre la diferencia entre las integrales (de $a$ a $x$ ) de $f'$ y $h$ ?

Así que podemos obtener $\int_a^x f'(t) dt - \int_a^x h(t)dt$ ser pequeño, ¿verdad? O en otras palabras, podemos conseguir $f(x) - f(a) - \int_a^x h(t)dt$ ser pequeño. ¿Y si fijamos $g(x) = f(a) + \int_a^x h(t)dt$ ?

Answer 2

Teorema: Sea M un espacio métrico. Entonces cualquier función continua f:M→R puede ser uniformemente aproximada por una función localmente Lipschitz. Véase aquí .

Recuerde que si una función es absolutamente continua en $[a,b]$ entonces es continua en $[a,b]$ . Lo contrario no es cierto.