Dé un ejemplo de elementos conmutativos $x,y$ tal que el orden de $xy$ no es igual al mínimo común múltiplo de $|x|$ y $|y|$

Question

Supongamos que $|x|=n$ y $|y|=m$ . Dé un ejemplo de elementos conmutativos $x,y$ tal que el orden de $xy$ no es igual al mínimo común múltiplo de $|x|$ y $|y|$

Mi intento : Estaba pensando en tomar el Grupo no abeliano $S_3$ Toma $x=(12)$ y $y=(123)$ pero aquí $xy \neq yx $ i,e $x$ y $y$ no son elementos conmutables

Después de eso estoy pensando de nuevo grupo abeliano $K_4$ donde $K_4=\{1,x,y,xy\} $

Aquí $|x|=2$ y $|y|=2$ Entonces $Lcm(x,y)=lcm(2,2)=2$ pero $|x||y|=|xy|=2.2=4 $

Creo que en $K_4$ orden de $xy$ no es igual al mínimo común múltiplo de $|x|$ y $|y|$

Answer 1

Tomar una no-identidad $x$ y $y=x^{-1}$ entonces $|xy|=1 \neq lcm(|x|,|y|)=|x|$ .

Answer 2

Sea $x$ sea un elemento de orden $2q$ en cualquier grupo. Entonces $x\cdot x$ tiene orden $q\neq\operatorname{lcm}(2q, 2q)=2q$ .