Resolubilidad de la congruencia $(x+a)^n\equiv x^n\pmod p$ en $x$

Question

Al pensar en resolver la diofantina $x^n-y^n=1001$ Me di cuenta de que mis conocimientos sobre la factorización en primos de $x^n-y^n$ no basta para atacar tales diofantinas en general. Nótese que hablo de

• El lema de elevación del exponente
• Teorema de Zsigmondy
• Quizás el $\gcd\left(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b\right)=\gcd(n\gcd(a,b)^{n-1},a-b)$ cosa
• ...

Más concretamente me interesé por la resolubilidad de la congruencia $$(x+b)^n\equiv x^n\pmod p \tag1\label1$$ en $x$ cuando $b,n,p$ son fijos. (Supongamos que $p$ es primo; supongo que la mayoría de los resultados se generalizarán a los módulos compuestos utilizando la CRT y/o el lema de Hensel).

• ¿Cuáles son algunos teoremas relativos a las soluciones de \eqref {1}?
• ¿Es cierto que si \eqref{1} es resoluble para $b_1$ y $b_2$ entonces es resoluble para $b_1b_2$ ?
  (Esta pregunta está motivada por el problema con el que empecé, porque hay $b$ sería divisor de un número dado). Si no es así, ¿en qué circunstancias no triviales se cumple?

Hay exactamente $\frac{p-1}{\gcd(n,p-1)}$ distinto de cero $n$ residuos de potencia modulo $p$ por lo que intuitivamente la solvencia de \eqref{1} se hace más probable a medida que $\gcd(n,p-1)$ se hace más grande.

Answer 1

Trabajamos en $\mathbb Z / p\mathbb Z$ .

$$(x + b)^n = x^n \iff \left(1 + \frac{b}{x}\right)^n = 1 \iff u^n = 1$$ para $u = 1 + \frac{b}{x}$ .

Escribir $u = g^k$ para el generador $g$ produce $$kn \equiv 0 \pmod{p - 1}$$

etc.

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Tenemos que $p - 1 \mid kn$ Así que $k$ es cualquier múltiplo de $\frac{\operatorname{lcm}(n, p-1)}{n}$ .

Esto determina $u$ y luego $x$ .