ecuación del telegrafista redcación

Question

La ecuación del telegrafista en su forma generalizada es: $$c^2u_{xx}=u_{tt}+au_t+bu$$ Si aplicamos la transformación $v(x,t)=w(t)u(x,t)$ entonces según esto papel
si $b-a^2/4=0$ podemos reducir la ecuación del telegrafista a la ecuación de onda.

Sin embargo, en mi tarea, $b-a^2/4=0$ no se cumple, ¿tenemos otras formas de reducir la ecuación del telegrafista a la ecuación de onda estándar 1D?

Consideremos esta ecuación: $$u_{tt}=c^2u_{xx}+2u_t+u$$

cómo reducir esta ecuación a la forma de : $$u_{tt}=Constant\cdot u_{xx}$$ He intentado $v=w(x)u(x,t)$ y $v=e^{(px+qt)}u(x,t)$ ambos fallaron.

Answer 1

Sea $u=e^{-\frac{at}{2}}v$ ,

Entonces $u_t=e^{-\frac{at}{2}}v_t-\dfrac{ae^{-\frac{at}{2}}v}{2}$

$u_{tt}=e^{-\frac{at}{2}}v_{tt}-\dfrac{ae^{-\frac{at}{2}}v_t}{2}-\dfrac{ae^{-\frac{at}{2}}v_t}{2}+\dfrac{a^2e^{-\frac{at}{2}}v}{4}=e^{-\frac{at}{2}}v_{tt}-ae^{-\frac{at}{2}}v_t+\dfrac{a^2e^{-\frac{at}{2}}v}{4}$

$u_x=e^{-\frac{at}{2}}v_x$

$u_{xx}=e^{-\frac{at}{2}}v_{xx}$

$\therefore c^2e^{-\frac{at}{2}}v_{xx}=e^{-\frac{at}{2}}v_{tt}-ae^{-\frac{at}{2}}v_t+\dfrac{a^2e^{-\frac{at}{2}}v}{4}+ae^{-\frac{at}{2}}v_t-\dfrac{a^2e^{-\frac{at}{2}}v}{2}+be^{-\frac{at}{2}}v$

$c^2v_{xx}=v_{tt}+\left(b-\dfrac{a^2}{4}\right)v$