Sea $H,K \unlhd G$ y $H\subseteq K$ como grupos. Demuestre que $H \unlhd K$ .

Question

Pregunta: Que $G$ sea un grupo, $H \unlhd G$ , $K \unlhd G$ y $H \subseteq K$ . Demuestre que $H \unlhd K$ .

Lo que pensaba: Necesito demostrar que $kH=Hk$ . (1) $kH \subseteq Hk$ . Sea $kh \in kH$ donde $h\in H$ . Tenga en cuenta que $kh=khk^{-1}k$ . Así que ahora, tengo que demostrar que $khk^{-1} \in H$ . Ahora sé que tengo que usar mis hipótesis, pero no llegué a ninguna parte con ellas. Así que ya lo sé:

• $gH=Hg, \forall g\in G$ o $H=gHg^{-1} \Rightarrow ghg^{-1} \in H, h\in H$ ;
• $gK=Kg, \forall g\in G$ o $K=gKg^{-1}$ ;
• $H \subseteq K \Rightarrow H=gHg^{-1} \subseteq K=gKg^{-1}$ y $H \subseteq K \Rightarrow ghg^{-1} \in K, h\in H$ .

Pero me falta donde estos me ayudan a entenderlo $khk^{-1} \in H$ . Necesito desesperadamente una pista.

(2) $Hk\subseteq kH$ será probablemente algo como (1), ¿verdad?

Answer 1

Desde $H\trianglelefteq G$ tenemos $ghg^{-1}\in H$ para todos $g\in G$ . En particular $khk^{-1}\in H$ para todos $k\in K$ porque $K\leq G$ .