Reordenación de la multiplicación de matrices

Question

Quiero calcular la multiplicación de matrices $ABA$ donde $A$ y $B$ son matrices reales y ortogonales. De hecho, son específicamente $3\times3$ matrices de rotación. Sin embargo, es mucho más fácil si puedo invertir el orden de $BA$ de alguna manera, porque entonces puedo realizar la multiplicación mucho más fácilmente.

Sé que la multiplicación de matrices no es conmutativa, sin embargo, lo pregunto porque ambas $A$ y $B$ son matrices ortogonales, y es de esperar que haya algún truco para utilizar su ortogonalidad para reordenar el producto.

He intentado resolverlo, pero me he atascado aquí:

$$ ABA = A((BA)^{-1})^{-1}=A(A^{-1}B^{-1})^{-1} $$

¿Hay alguna forma de proceder a partir de aquí?

Edita: También sé que la multiplicación de matrices es asociativa; sin embargo, aquí no busco la asociatividad. Quiero multiplicar la $A$ matriz por $A$ (o por su inversa/transpuesta), luego multiplica el resultado por $B$ .

Edita: Para poner esto en contexto, considere el siguiente producto de matrices de rotación $$ R_x(\theta)R_z(\pi)R_x(\theta) $$ donde, $R_x(\theta)$ es la matriz de rotación en torno al $x$ -eje por $\theta$ y $R_z(\pi)$ es la matriz de rotación en torno al $z$ -eje por $\pi$ .

Este producto simplifica a $R_z(\pi)$ . ¿Es posible llegar a esta conclusión sin realizar la multiplicación matricial de las tres matrices de rotación? Me parece que la $R_x(\theta)$ se canceló de alguna manera.

Answer 1

Lamentablemente, no. Como señala @TobyMak, la asociatividad $$ A(BA) = (AB)A $$ significa que puede optar por evaluar $AB$ o $BA$ pero no hay ningún truco que te permita trabajar con $A^2$ .

Probablemente pueda demostrarlo con un ejemplo en el que $A^2 = I$ .

Answer 2

Supongo que lo que quieres decir es que tienes una matriz $A$ que utilizará varias veces con otras matrices diferentes en lugar de $B.$ Te gustaría alguna forma de precalcular una matriz $M_A$ realizando algunas operaciones en $A$ de modo que para cualquier matriz $B$ tienes $ABA = M_A B.$

En primer lugar, si esto es cierto en general, también lo es cuando $B=I,$ y por lo tanto $AIA = M_AI$ implica $M_A = A^2.$

Pero entonces para que la fórmula funcione en general se necesita $ABA = A^2 B$ , lo que implica $BA = AB,$ es decir, las matrices tienen que conmutar.

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En su ejemplo concreto, la rotación $R_z(\pi)$ asigna el eje de $R_x(\theta)$ sobre sí misma, pero al revés. Por lo tanto, la rotación inicial por $\theta$ se convierte en una rotación por $-\theta$ . No obtendrá un resultado tan agradable para cualquier $B$ que no sea una rotación por un múltiplo de $\pi$ e incluso cuando $B = R_z(\pi)$ no obtendrá un resultado tan bueno para ninguna rotación no trivial alrededor de un eje que no sea ni el $z$ o un eje en el $x,y$ avión.

Answer 3

$$ABA = (AB)A$$

ya que la multiplicación de matrices es asociativa. Una prueba de ello está en este otro post en Math SE.