En los años 70 tenía una pila de viejas revistas de Radioaficionados (años 50-60), y durante mucho tiempo guardé un artículo sobre el uso del Algoritmo euclidiano combinar varias resistencias para conseguir un valor determinado. ¿Alguien recuerda y tiene una copia de este artículo, o sabe cómo se aplica el algoritmo euclidiano para resolver este problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En realidad se basa en la teoría de fracciones continuas que está estrechamente relacionado con el método de Euclides para hallar el GCD entre dos números.
He aquí un ejemplo: Supongamos que tienes un montón de resistencias de precisión de 10K, y necesitas un valor de resistencia de 27K para tu proyecto. Necesitas alguna combinación de las resistencias de 10K en serie y/o paralelo para producir esa resistencia.
Empieza por escribir la relación de las dos resistencias:
27K / 10K = 2,7
Esto significa que necesitas dos resistencias en serie con alguna combinación que dé 0,7 de resistencia.
Utilizando el concepto de fracciones continuas, puedes reescribir el número 2,7 como 2 + 1/1,42857. Además, puedes descomponer el número 1,42587 en 1 + 1/2,3333.
Ahora, si miras la primera fracción de nuevo, se puede escribir como
$$\frac{1}{1.42857} = \frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2.3333}}$$
Observe que resulta ser la expresión para dos resistencias en paralelo; en este caso, una resistencia en paralelo con 2,3333 resistencias.
¿Cómo se llega a 2,333 resistencias? Podrías volver a repetir el algoritmo, pero debería ser obvio que necesitas dos resistencias en serie con la combinación en paralelo de otras tres resistencias. La red final tiene este aspecto, y tiene una resistencia de exactamente 27K.
simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab
Obviamente, no todos los ejemplos funcionarán tan bien. En general, tienes que decidir cuándo dejar de iterar en función de cuándo la precisión de la red que tienes hasta ahora está "lo suficientemente cerca".
La forma generalizada del algoritmo es la siguiente: Determinar la relación X = R deseado / R disponible . Escribe X como una fracción continua, donde A, B, C, D, E, etc. son todos números enteros:
$$X = A + \frac{1}{B + \frac{1}{C + \frac{1}{D + \frac{1}{E + \frac{1}{...}}}}}$$
Construya su red con
- Una resistencia en serie con ...
- B resistencias en paralelo con ...
- C resistencias en serie con ...
- D resistencias en paralelo con ...
- E resistencias en serie con ...
... y así sucesivamente, hasta que obtenga una sub-expresión que no tenga parte fraccionaria, o se acerque "lo suficiente" al resultado deseado.
Ten en cuenta que si X es menor que uno para empezar, entonces A será cero, lo que simplemente significa que estás empezando con una combinación paralela de resistencias y procediendo desde ahí. Observe también que mientras X sea un número racional, la secuencia de fracciones continuas será finita.
