En relación con la construcción de $\Bbb C$ (generalización)

Question

Para construir $\Bbb C$ consideramos $\Bbb R^2$ dotado de las operaciones: $$\begin{align} (a,b) + (c,d) &:= (a+c, b+d) \\ (a,b) \cdot (c,d) &:= (ac - bd, ad+bc)\end{align} $$ entonces escribe $(0,1_{\Bbb R}) = i$ Sigue escribiendo $(a,b)$ como $a+ib$ etc. Tal vez la pregunta sea tonta y tenga una explicación trivial, pero no obstante, preguntaré: ¿Alguien ha intentado repetir el procedimiento con $\Bbb C^2$ ¿"anidar unidades imaginarias"? Más concretamente, me refiero a definir en $\Bbb C^2$ las operaciones: $$\begin{align} (z_1,z_2) + (w_1,w_2) &:= (z_1 + w_1, z_2+w_2) \\ (z_1,z_2) \cdot (w_1,w_2) &:= (z_1w_1 - z_2w_2, z_1w_2+z_2w_1)\end{align}$$ entonces escribe $(0,1_{\Bbb C}) = j$ donde $j$ es otra "unidad imaginaria" tal que $j^2 = -1_{\Bbb C}$ Escriba $(z_1,z_2) = z_1 + jz_2$ etc. (Sólo estoy usando este subíndice $\Bbb C$ para subrayar). Me parece que obtendríamos $i^2 = j^2$ pero eso no significa necesariamente que $i = j$ ¿verdad? Además, ¿estaría esto relacionado de alguna manera con los cuaterniones?

De esta manera, si podemos hacer $\Bbb C^2$ un campo, podríamos hacer cualquier $\Bbb R^{2n}, n \in \Bbb Z$ un campo, repitiendo el proceso, ¿no? No sé si aparecería algún problema si expandiera todo en términos de las partes reales e imaginarias de cada componente. Obtendríamos algunos términos mezclados $ij$ y $ji$ . Seguramente podría aventurarme en los cálculos, pero si alguien ya pensó en esto, y al final no tuvo sentido, no seguiré dándome cabezazos contra la pared. Gracias por la atención, y espero haber conseguido transmitir mi idea.

Answer 1

Esencialmente estás uniendo una nueva raíz cuadrada de $-1$ a $\Bbb C$ a saber $(0,1)$ . En efecto, estás construyendo el anillo $\Bbb C[x]/(x^2+1)$ (donde $x$ representa este nuevo sqrt de $-1$ ). Por el Teorema Chino del Resto (el que se usa en álgebra abstracta), esto es isomorfo a

$$\frac{\Bbb C[x]}{((x+i)(x-i))}\cong\frac{\Bbb C[x]}{(x+i)}\times\frac{\Bbb C[x]}{(x-i)}\cong\Bbb C\times\Bbb C .$$

Este es un producto directo de $\Bbb C$ consigo misma. Ciertamente no es un campo; tiene muchos divisores cero (cosas distintas de cero que se multiplican en cero: p. ej. $(a,0)(0,b)=(0,0)$ en $\Bbb C\times\Bbb C$ ) y cuatro idempotentes (cosas que satisfacen $u^2=u$ ). Si se une a otro más, se obtiene

$$\frac{(\Bbb C\times\Bbb C)[x]}{(x^2+1)}\cong\frac{\Bbb C[x]}{(x^2+1)}\times\frac{\Bbb C[x]}{(x^2+1)}\cong\Bbb C\times\Bbb C\times\Bbb C\times\Bbb C.$$

El primer isomorfismo es $(a,b)+(c,d)x+(x^2+1)\mapsto (a+cx+(x^2+1),b+dx+(x^2+1))$ .

Obsérvese que este nuevo anillo tiene de nuevo muchos divisores cero, por lo que no es un campo ni un anillo de división (como los cuaterniones $\Bbb H$ son), y también es conmutativa (a diferencia de $\Bbb H$ ) y cuatridimensional sobre $\Bbb C$ (a diferencia de $\Bbb H$ que es cuatridimensional sobre $\Bbb R$ ), por lo tanto octodimensional sobre $\Bbb R$ .

Teorema de Frobenius afirma que las únicas álgebras de división real sobre $\Bbb R$ son $\Bbb R,\Bbb C$ y $\Bbb H$ por lo que no podrá obtener ninguna de mayor dimensión por muy inteligente que sea su construcción.

Si modifica el $2$ -construcción de tuplas de $\Bbb C$ de $\Bbb R$ con la conjugación, se obtiene el Construcción Cayley-Dickson si se aplica esta construcción a $\Bbb C$ se obtiene $\Bbb H$ (ya no es conmutativa), y si se aplica a $\Bbb H$ se obtienen los octoniones $\Bbb O$ (ya no asociativa), y luego las sedeniones (ya no "alternativa") y así sucesivamente. Otra generalización de $\Bbb R,\Bbb C,\Bbb H$ son Álgebras de Clifford .

Answer 2

Cerrar. Para obtener los complejos, utilice matrices reales $$ \left( \begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array} \right) . $$

Para obtener los cuaterniones, utilice matrices complejas $$ \left( \begin{array}{rr} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{array} \right) . $$

Answer 3

Sí, Hamilton y muchos otros se plantearon intentar hacer algo parecido; resulta que no podemos crear una estructura algebraica en tres dimensiones, pero sí en cuatro. Puedes leer sobre el descubrimiento de Hamilton al respecto aquí . Esto da lo que se llaman cuaterniones: tenemos $i,j,k$ para que $i^2=j^2=k^2$ esto da $ij=k$ entre otras identidades. Sin embargo, perdemos la conmutatividad: $ij=-ji$ por ejemplo, por lo que ya no es un campo. Son, sin embargo, un álgebra de división, y un ejemplo de un campo sesgado debido a la anticomutatividad.

En ocho dimensiones hay otra construcción de los octoniones pero perdemos aún más la asociatividad. No podemos hacer esto en dimensiones superiores.