¿Qué significa $(B+I)/I\sim B/(B\cap I)$ ¿Nos lo dices?

Question

Sea $A$ ser un $C^*$ -en la que $B$ es un $C^*$ -y $I$ es un ideal cerrado. En varios libros sobre $C^*$ -algebras me he encontrado con lo siguiente:

$(B+I)/I$ es $*$ -isomorfo de $B/(B\cap I)$ .

Parece importante, pero ninguno de los libros que he leído da una pista de por qué lo es.

Entonces, ¿qué dice realmente este isomorfismo?

Gracias.

Answer 1

He aquí una interpretación algebraica general que siempre me ha parecido convincente.

Dentro de un álgebra fija $A$ se nos da una subálgebra $B$ y un ideal $I$ (algo por lo que puedes cotizar, me salto los detalles). Nos interesa el cociente $B/I$ pero esto no tiene sentido en general, ya que no necesariamente tenemos $I \subset B$ .

Hay dos maneras diferentes de hacerlo:

1. o bien extienden la subálgebra $B$ para que $I$ se encuentra en esta extensión (la subálgebra más pequeña es $B+I$ )

2. o restringir $I$ de modo que esta restricción se encuentra en $B$ (el ideal más grande es $B \cap I$ ).

El isomorfismo $(B+I)/I \cong B/(B\cap I)$ nos dice que ambos enfoques dan el mismo resultado.

Answer 2

Como ha mencionado azarel, la forma de este "segundo" isomorfismo debería ser familiar a partir de la teoría elemental de grupos, anillos o módulos.

Una aplicación útil es la siguiente:

Si $I,J$ son ideales cerrados de la $C^*$ -álgebra $A$ entonces $I+J$ también es un ideal cerrado .

(prueba: el mapa natural "segundo isomorfismo $I/(I\cap J)\to A/J$ es un $*$ -(iso)morfismo sobre $(I+J)/J$ por lo que esta última es cerrada en $A/J$ . Ahora $(I+J)/J$ y $J$ son Banach, por lo tanto $I+J$ también).

A su vez, los ideales cerrados son agradables porque sus cocientes dan espacios completos, por ejemplo, el cociente de una C*-álgebra por un ideal cerrado es de nuevo una C*-álgebra.