Encontrar una base de un subespacio abarcado por matrices

Question

$G = \langle \begin{bmatrix}1&1\\1&1\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&1\\1&0\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2&-3\\1&1\\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix}4&-1\\3&2\\ \end{bmatrix}$

Primero escribo todas las matrices como vectores:

$M_1 = \begin{bmatrix}1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}$

$M_2 = \begin{bmatrix}1\\1\\1\\0 \end{bmatrix}$

$M_3 = \begin{bmatrix}2\\-3\\1\\1 \end{bmatrix}$

$M_4 = \begin{bmatrix}4\\-1\\3\\2 \end{bmatrix}$

Entonces encontré el rref:

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 0\\2 & -3 & 1 & 1\\4 & -1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow (...) \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{4}{5} & 0\\0 & 1 & \frac{1}{5} & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

La base que obtengo es

$$(\begin{bmatrix}1 &0\\4/5&0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 &1\\\frac{1}{5}&0 \end{bmatrix}),\begin{bmatrix}0 &0\\0&1 \end{bmatrix}$$

¿Es correcto? Ni siquiera se acerca a la solución en mi libro que es

$$(\begin{bmatrix}1 &1\\1&1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 &1\\1&0 \end{bmatrix}),\begin{bmatrix}2 &-3\\1&1 \end{bmatrix}$$

Answer 1

Vamos a comprobarlo.

$$e_1=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ \tfrac{4}{5} & 0 \end{bmatrix} \\ e_2 = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ \tfrac{1}{5} & 0 \end{bmatrix} \\ e_3 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$

Tenemos:

$$\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = e_1+e_2+e_3 \\ \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} = e_1+e_2 \\ \begin{bmatrix}2 & -3 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = 2e_1-3e_2+e_3 \\ \begin{bmatrix}4 & -1 \\ 3 & 2\end{bmatrix} = 4e_1-e_2+2e_3$$

Tienes tres matrices, que es definitivamente el tamaño de la base dada en el libro. Cada una de las cuatro matrices que te han dado está en el intervalo de las matrices que has encontrado. Las tres matrices que has encontrado son linealmente independientes. Esto significa que las dos bases abarcan el mismo subespacio.

Answer 2

Tu solución no es errónea per se. Hay un número infinito de ellas. Parece que querías escoger un subconjunto de las cuatro matrices originales que forman una base, lo que puedes hacer ensamblando esos mismos vectores aplanados en columnas en lugar de filas. Después de la reducción de filas, puedes elegir los vectores originales que corresponden a las columnas pivote en la matriz reducida.