2016 España Olimpíadas de Matemáticas de la etapa final, el problema (2)

Question

Dado un primer $p$. Demostrar que no existe $\alpha$ tal que $p|\alpha(\alpha-1)+3$, si y sólo si no existe $\beta$ tal que $p|\beta(\beta-1)+25$.

Mi solución:

Utilizando cuadrática residuu tenemos que $$\alpha=\frac{1\pm \sqrt{-11}}{2}$$ $$\beta=\frac{1\pm \sqrt{-99}}{2}=\frac{1\pm 3\sqrt{-11}}{2}$$ Desde $p$ debe ser impar el primer, $\frac{1}{2}$ tiene inversa mudulo $p$. Supongamos que existe $\alpha$ $\sqrt{-11}$ existe modulo $p$. Por lo tanto $\beta$ también existe. El recíproco es el mismo.

Podría alguien por favor revise esta solución? Y ¿alguien tiene otra solución?

Gracias!

Answer 1

Para $p=2$, o cualquier prime donde $3=25$, las condiciones son idénticas.

Para los impares, números primos,

$x^2 - x = a$ tiene solución si y sólo si $4a+1$ es un cuadrado perfecto.

La declaración es ahora que $-11$ $-99$ son ambos cuadrados o ambos nonsquares. Para $p \neq 3$ que es clara y a $3$ se puede calcular.

Así que hay algunos de verificación especial en $p=2$ (donde completando el cuadrado no funciona) y $p=3$ (donde la multiplicación por 9 puede cambiar un rectangulares en una plaza), y el argumento del uso de ecuaciones cuadráticas o de completar el cuadrado se encarga de todos los demás valores de $p$.