¿Existe una forma cerrada para $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}$ ?

Question

Estoy leyendo un libro sobre variables complejas ( Teoría de las funciones de variable compleja , Thorn 1953) y se muestra lo siguiente:

Sea $f(z)$ sean holomorfas y de valor único en $\mathbb{C}$ excepto en un número finito de puntos $a_1,\ldots, a_k$ que no son enteros ni semienteros donde $f(z)$ tiene polos o singularidades esenciales. Además, supongamos que hay alguna $d$ para lo cual si $|z|>m(d)$ , $|z^2 f(z)|<d$ . Entonces $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = -\pi \sum_{n=1}^{k} r_n \cot(\pi a_n),$$ donde $r_n$ es el residuo de $f(z)$ en $z=a_n$ .

He aquí un esbozo de la prueba que aporté: la condición de no $a_n$ enteros o semienteros es evitar el "acoplamiento" entre $f$ y cotangente. Sea $C_m$ sea el contorno rectangular antihorario con vértices $\pm(m+1/2)\pm m i$ elegir $m>1$ lo suficientemente grande para que cada $a_n$ está contenida en el interior de $C_m$ y se cumple la condición de crecimiento. Entonces $$\frac{1}{2\pi i}\int _{C_m} \pi \cot(\pi z) f(z)\,dz = \sum_{n=-m}^{m}f(n) + \pi\sum_{n=1}^{k} \pi r_n \cot(\pi a_n)$$ Un argumento de fuerza bruta muestra que a lo largo de $C_m$ , $|\cot(\pi z)|<\coth(\pi m)<2$ . Ahora utilizamos la condición de crecimiento: $$\left|\frac{1}{2\pi i}\int _{C_m} \pi \cot(\pi z) f(z)\,dz\right| \leq \frac{1}{2}\int _{C_m} \left| \cot(\pi z) f(z)\right|\,dz$$ $$<\int _{C_m} \left|f(z)\right|\,dz \leq (8m+2) \max_{z\in C_m} |f(z)| < \frac{(8m+2)d}{m^2}$$ Así como $m\to \infty$ el LHS se aproxima a $0$ y el resultado es el siguiente.

Muy bien. Ahora, la serie en mi título es la segunda parte de un ejercicio; la primera parte tiene que evaluar $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}}$ que se hace escribiendo: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+1} = \frac{1}{2}\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}+1\right)$$ $$= \frac{1}{2}\left(-\pi \left(\frac{-i}{2}\cot(\pi i)+\frac{i}{2}\cot(-\pi i)\right)+1\right) = \frac{1+\pi\coth(\pi)}{2}$$ Pero luego el libro afirma $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}}$ también puede evaluarse. Soy escéptico porque la singularidad se produce en $n=-1$ frente a $\pm i$ en el problema anterior, y no creo que el mismo truco de simetría pueda funcionar; además, esta es la única sección relevante del capítulo para este ejercicio. Mathematica da el valor $$\frac{-1}{3}\sum_{k=0}^2 \frac{\psi(-\exp(2\pi i (2k+1)/6))}{\exp(2\pi i (2k+1)/6)},$$ donde $\psi$ es la función digamma, que es menos que transparente, aunque podría comprar cómo podríamos llegar allí desde la suma cotangente. No estoy seguro de si la suma tiene una forma cerrada más agradable o si esto es lo mejor que se puede hacer.

Answer 1

Wolfram es más elegante:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n^3+1} = -3^{-1}\sum_{\{\omega \in \mathbb{C}| \omega^3 +1 =0\}} \psi (-\omega)\omega^{-1}$$

donde

$$\{\omega \in \mathbb{C}| \omega^3 +1 =0\} =\{-1, 1/2+i\sqrt{3}/2, 1/2-i\sqrt{3}/2 \}$$

También: $$\psi(z) -\psi(1-z) = - \pi \cot (\pi z)$$ y $$\psi(1+z) -\psi(z) = 1/z$$

Más propiedades de la función digamma en wiki .

Los residuos (Wolfram de nuevo) son: $-1/3$ en $-1$ , $(-i+\sqrt{3})/(3(i+\sqrt{3}))$ en $1/2+i\sqrt{3}/2$ y $(i+\sqrt{3})/(3(-i+\sqrt{3}))$ en $1/2-i\sqrt{3}/2$ .

Resulta que: $$\cot (\pi(1/2+i\sqrt{3}/2)) = -i\tanh(\sqrt{3}\pi/2)$$ y $$\cot (\pi(1/2-i\sqrt{3}/2)) = i\tanh(\sqrt{3}\pi/2)$$

Así que..: $$(-i+\sqrt{3})/(3(i+\sqrt{3}))\cdot [-i\tanh(\sqrt{3}\pi/2)] + (i+\sqrt{3})/(3(-i+\sqrt{3})) \cdot [i\tanh(\sqrt{3}\pi/2)]$$ $$=-\tanh(\sqrt{3}\pi/2) /\sqrt{3}\ $$

Edita: No estoy seguro de cómo acabamos multiplicando residuos de $f$ en los polos y $\cot$ en esos polos (tiempos $\pi$ ). En proofwiki (libro de Marsden y Hoffman), necesitamos:

$$-\pi \sum_{z_0 {\rm \; pole \; of} \; f(z)} {\rm Res}(\cot (\pi z)f (z), z_0)$$

En cualquier caso, esto es necesario para hacer frente a polo $-1$ y $f(z)=z/(z^3+1)$ : $${\rm Res}(\cot (\pi z)f (z), -1) = 0$$

Answer 2

Arce dice $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^3+1} = {\frac {\pi\,\tanh \left( {\frac {\pi\,\sqrt {3}}{2}} \right) \left( i+\sqrt {3} \right) }{6}}-{\frac {\gamma}{3}}-{\frac {\Psi \left( { \frac{1}{2}}+{\frac {i}{2}}\sqrt {3} \right) }{3}}+{\frac{1}{3}}$$

Answer 3

Comentario
Una pregunta con una respuesta mucho más sencilla es $$\sum \frac{n}{n^3+1} = \frac{\pi}{\sqrt 3}\tanh\frac{\pi\sqrt{3}}{2}$$ donde la suma es sobre todos los $n \in \mathbb Z$ excepto $n=-1$ .

Como ejercicio puedes intentar hacerlo utilizando el método de la cotangente de contorno.